Контракција (математика)

У математици, контракција, или функција контракције, на метричком простору је функција са скупа на самог себе, са својством да постоји неки реалан број ${\displaystyle 0<k<1}$, такав да, за свако и из ,

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).}$

Најмање такво се назива Липшицовом константом за . Контрактивна пресликавања се називају Липшицовим пресликавањима. Ако је горњи услов задовољен за ${\displaystyle 0<k\leq 1}$, онда се каже да је пресликавање неекспанзивно.

Општије, идеја контрактивног пресликавања се може дефинисати за пресликавања између метричких простора. Стога, ако су и два метричка простора, и ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$, онда тражимо константу , такву да је ${\displaystyle g(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)}$ за свако и из .

Свака контракција је Липшиц-непрекидна и стога униформно непрекидна.

Контракционо пресликавање има највише једну непокретну тачку. Штавише, Банахова теорема о непокретној тачки тврди да свако контракционо пресликавање на непразном комплетном метричком простору има јединствену непокретну тачку, и да за свако из итерирани низ , ... конвергира ка тој непокретној тачки. Овај концепт је веома користан за системе итерираних функција где се контракције често користе. Банахова теорема о непокретној тачки се такође примењује у доказивању постојања решења ординарних диференцијалних једначина, као и у једном доказу теореме о инверзу функције^[1].