Конјугован комплексан број

У математици, конјугован комплексан број је број коме је промењен знак имагинарног дела, тј. конјугат броја ${\displaystyle z=a+ib}$ где ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ је број ${\displaystyle {\bar {z}}=a-ib}$. Често се користи и ознака ${\displaystyle {\bar {z}}}$.

Геометријски приказ комплексног броја z и њему конјугованог z̅ у комплексној равни.

Пример: ${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$, ${\displaystyle {\bar {i}}=-i}$ и ${\displaystyle {\bar {7}}=7}$.

Уколико посматрамо комплексни број као тачку у равни, конјугат комплексног броја био би представљен његовим одразом од x-осе (пошто се на y-оси налази имагинарни део).

Својства

Својства се односе на све комплексне бројеве уколико није другачије речено.

${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\bar {z}}+{\bar {w}}}$

${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\bar {z}}{\bar {w}}}$

${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\bar {z}}{\bar {w}}}}$ ако је w различит од 0

${\displaystyle {\bar {z}}=z}$ акко је реалан број

${\displaystyle \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\bar {z}}}$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ ако је различит од 0

Уколико је ${\displaystyle p\,}$ полином са реалним коефицијентима, и уколико је ${\displaystyle p(z)=0\,}$, тада је и ${\displaystyle p({\bar {z}})=0}$, тј. корени полинома са реалним коефицијентима се појављују као конјуговани комплексни бројеви уколико нису на реалној правој.