Кошијева интегрална формула

Кошијева интегрална формула је теорема из области комплексне анализе, која тврди да се вриједност холоморфне функције у некој тачки области дефинисаности може израчунати помоћу тачака које припадају рубу (граници) те области.^[1][2] Ова теорема је једна од централних тема комплексне анализе и користи се при развоју функција у Тејлоров и Лоранов ред, методама контурне интеграције итд.^[3][4]

Кошијева интегрална теорема

Нека скуп ${\displaystyle D}$ има оријентисану границу која се састоји из коначног броја непрекидних кривих. Ако је функција ${\displaystyle f}$ холоморфна на области ${\displaystyle D}$ и непрекидна на ${\displaystyle {\overline {D}}}$, (${\displaystyle f\in H(D),f\in C({\overline {D}})}$), тада за произвољну тачку ${\displaystyle z\in D}$ важи једнакост:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

Заправо, шире, важи формула:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\begin{cases}f(z)&z\in D\\0&z\not \in D\end{cases}}}$

Доказ

Површина стварног дела функције g(z) = z²/z² + 2z + 2 и њене сингуларности, са контурама описаним у тексту.

Први случај: нека ${\displaystyle z\not \in D}$.

Означимо функцију ${\displaystyle g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}}$. Ова функција је холоморфна над ${\displaystyle D}$, јер је ${\displaystyle f\in H(D)}$ и јер је ${\displaystyle \xi -z\not =0(z\not \in D)}$. Тада важи Кошијева уопштена теорема и интеграл функције ${\displaystyle g}$ по ${\displaystyle \partial D}$ једнак нули, тј.:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}g(\xi )d\xi =0}$

Други случај: нека ${\displaystyle z\in D}$.

Покушајмо из области ${\displaystyle D}$ да исијечемо мали круг ${\displaystyle K=K[z,r]\subsetneq D}$ (компактни подскуп од ${\displaystyle D}$) око тачке ${\displaystyle z}$ и означимо новонасталу област са ${\displaystyle G=G\setminus K}$. Сада је јасно да се граница скупа ${\displaystyle G}$ састоји од границе ${\displaystyle D}$ и границе новог круга ${\displaystyle K}$, тј. прецизније ${\displaystyle \partial G=\partial D\cup \partial K^{-}}$. (${\displaystyle D}$ је оријентисана граница, те границу ${\displaystyle \partial K^{-}}$ такође оријентишемо, и то у негативном смјеру). Сада је функција ${\displaystyle g(\xi )={\frac {f(\xi )}{\xi -z}}}$ холоморфна над ${\displaystyle G}$, јер је ${\displaystyle f(\xi )}$ холоморфна над ${\displaystyle D}$, дакле и над ${\displaystyle G}$, а ${\displaystyle \xi -z\not =0}$, јер ${\displaystyle z\not \in G}$. Поново имамо задовољење Кошијеве уопштене теореме и биће:

${\displaystyle 0=\int \limits _{\partial G}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}g(\xi )d\xi =\int \limits _{\partial D\cup \partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +\int \limits _{\partial K^{-}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =0}$

Одавде се испоставља да је: ${\displaystyle \int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \Rightarrow {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial D}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi }$

Сада треба доказати да је:

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)}$

Пошто смо изабрали полупречник ${\displaystyle r}$ произвољне величине, произилази да горњи изрази не зависе од његовог одабира, тј. горње једнакости ће важити за било који довољно мали полупречник ${\displaystyle r}$ такав да је ${\displaystyle K[z,r]\subsetneq D}$. Зато ћемо показати да је ${\displaystyle \lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)}$. Израчунајмо за колико се ова два израза разликују (и покажимо да ће се за довољно мало ${\displaystyle r}$ изједначити):

${\displaystyle A=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -f(z)|=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \xi -z|=r}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi |=}$

(Ово последње слиједи из чињенице да је ${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {1}{\xi -z}}d\xi ={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {re^{i\theta }i}{z+re^{i\theta }-z}}d\theta ={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }d\theta ={\frac {1}{2\pi }}2\pi =1}$)

${\displaystyle =|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{|\xi -z|=r}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\frac {f(z+re^{i\theta })-f(z)}{z+re^{i\theta }-z}}re^{i\theta }id\theta |=|{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }f(z+re^{i\theta })-f(z)d\theta |\leq {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{0}^{2\pi }|f(z+re^{i\theta })-f(z)|d\theta }$

Због непрекидности функције знамо да се ${\displaystyle f(z+re^{i\theta })}$ може довести произвољно близу ${\displaystyle f(z)}$ за довољно мало ${\displaystyle r}$, тј. прецизније:

${\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall \theta )(\forall r)(0<r<\delta \Rightarrow |f(z+re^{i\theta })-f(z)|<\epsilon )}$

Одавде слиједи да за произвољно мало ${\displaystyle \epsilon }$ можемо наћи довољно мало ${\displaystyle r}$ да буде:

${\displaystyle A<{\frac {1}{2\pi }}\epsilon \int _{0}^{2\pi }d\theta =\epsilon \Rightarrow \lim _{r\rightarrow 0}{\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{\partial K}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =f(z)}$

Тиме је теорема доказана.

Генерализација

Верзија Кошијеве интегралне формуле је Коши-Помпејова формула^[5] и важи и за глатке функције, пошто је заснована на Стоксовој теореми.^[6][7][8][9] Нека је D диск у C и претпоставимо да је f функција комплексне вредности C¹ на затварању D. Тада^[10][11]

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\partial D}{\frac {f(z)\,dz}{z-\zeta }}\frac {1}{\pi }}\iint _{D}{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z){\frac {dx\wedge dy}{z-\zeta }}.}$

Ова репрезентациона формул се може користити за решавање нехомогених Коши-Риманових једначина у D.^[12][13] Заиста, ако је φ функција у D, онда је одређено решење f једначине холоморфна функција изван носача μ. Штавише, ако је у отвореном скупу D,

${\displaystyle d\mu ={\frac {1}{2\pi i}}\varphi \,dz\wedge d{\bar {z}}}$

за неко φ ∈ C^k(D) (где је k ≥ 1), онда је f(ζ, ζ) такође у C^k(D) и задовољава једначину

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=\varphi (z,{\bar {z}}).}$

Први закључак је, сажето, да је конволуција μ ∗ k(z) компактно подржане мере са Кошијевим језгром

${\displaystyle k(z)=\operatorname {p.v.} {\frac {1}{z}}}$

холоморфна функција ван носача μ. Овде p.v. означава главну вредност. Други закључак тврди да је Кошијево језгро фундаментално решење Коши-Риманове једначине. Треба имати на уму да за глатке функције комплексне вредности f компактног носача на C генерализована Кошијева интегрална формула се поједностављује на

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {1}{2\pi i}}\iint {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}{\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{z-\zeta }},}$

и представља понављање чињенице да је, посматрано као расподела, (πz)⁻¹ је фундаментално решење Коши-Римановог оператора ∂/∂z̄.^[14] Генерализована Кошијева интегрална формула се може извести за било коју ограничену отворену област X са C¹ границом ∂X из овог резултата и формуле за дистрибуциони извод карактеристичне функције χ_X од X:

${\displaystyle {\frac {\partial \chi _{X}}{\partial {\bar {z}}}}={\frac {i}{2}}\oint _{\partial X}\,dz,}$

где расподела на десној страни означава контурну интеграцију дуж ∂X.^[15]

Види још

• Кошијева интегрална теорема