Логаритамске једначине

У математици постоје неколико логаритамских једначина.

Алгебарске једначине

Коришћење једноставнијих операција

Људи користе логаритме да би упростили рачун. На пример, два броја могу бити помножена само користећи таблицу логаритама и сабирање.

${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,}$	због	${\displaystyle b^{m}\cdot b^{n}=b^{m+n}}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}$	због	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {b^{m}}{b^{n}}}\end{matrix}}=b^{m-n}}$
${\displaystyle \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,}$	због	${\displaystyle (b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}}$	због	${\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}}$

Укидање експонената

Логаритми и експоненти (антилогаритми) са истом основом се поништавају.

${\displaystyle b^{\log _{b}(x)}=x}$	због	${\displaystyle \mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b^{x})=x\!\,}$	због	${\displaystyle \log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,}$

Промена основе

${\displaystyle \log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}}$

Ова једначина се користи за израчунавање логаритама на електронским калкулаторима. На пример, већина калкулатора има дугмад за и за ₁₀, али не и за ₂. Да бисмо нашли ₂(3), треба израчунати ₁₀(3) / ₁₀(2) (или (3)/(2), што је заправо иста ствар).

Из ове формуле произилази неколико ствари:

${\displaystyle \log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}}$

${\displaystyle \log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b}$

${\displaystyle a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}}$

Тривијалне једначине

${\displaystyle \log _{b}(1)=0\!\,}$	због	${\displaystyle b^{0}=1\!\,}$
${\displaystyle \log _{b}(b)=1\!\,}$	због	${\displaystyle b^{1}=b\!\,}$

Једначине математичке анализе

Лимеси

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=\infty \quad {\mbox{if }}a>1}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{if }}a<1}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0}$

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0}$

Последњи лимес се често схвата као „логаритам расте спорије од било ког степена или корена x".

Извод логаритамске функције

${\displaystyle {d \over dx}\ln x={1 \over x}={1 \over x\ln e},\qquad x>0}$

${\displaystyle {d \over dx}\log _{b}x={1 \over x\ln b},\qquad b>0,b\neq 1}$

Интеграл логаритамске функције

${\displaystyle \int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C}$

што се за = своди на

${\displaystyle \int \ln x\,dx=x(\ln x-1)+C}$

Неједнакости

${\displaystyle {\frac {x}{1+x}}\leq \log(1+x)\leq x{\mbox{ за све }}-1<x}$

${\displaystyle {\frac {2x}{2+x}}\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x+x^{2}/12}}}\leq \log(1+x)\leq {\frac {x}{\sqrt {1+x}}}\leq {\frac {x}{2}}{\frac {2+x}{1+x}}{\mbox{ за }}0\leq x{\mbox{, обрнуто за }}-1<x\leq 0}$

Обе неједнакости су прилично оштре око , али не и за велико .^[1][2]