Мера Лебега

У математици, мера Лебега, је стандардан начин за додељивање дужине, површине или запремине подскуповима Еуклидског простора. Добила је име по француском математичару Анрију Лебегу. Користи се у реалној анализи, у дефинисању Лебегове интеграције. Скупови којима се може придружити запремина се називају Лебег мерљивим; запремина или мера Лебег мерљивог скупа се означава са . Дозвољава се да скуп буде Лебег мере ∞.

Уз претпоставку аксиоме избора, нису сви подскупови од Лебег мерљиви, нити се може на скупу свих подскупова овог простора дефинисати мера која би задовољавала уобичајене аксиоме укључујући и σ-адитивност. Необично понашање немерљивих скупова доводи до контраинтуитивних исказа као што је парадокс Банаха-Тарског, који представља последицу аксиоме избора.

Унутар интеграла по Лебегу, мера Лебега се често означава са ${\displaystyle \mathrm {d} x}$, али ово не треба мешати са другачијим појмом запреминске форме.

Примери

• Ако је затворен интервал , онда је његова мера Лебега једнака дужини . Отворени интервал има исту меру, јер разлика између ова два скупа има меру нула.
• Ако је Декартов производ интервала и , онда се ради о правоугаонику, и његова мера Лебега је површина .
• Канторов скуп је пример непребројивог скупа чија мера Лебега је једнака нули.

Својства

Лебегова мера на има следећа својства:

1. Ако је Декартов производ интервала , онда је Лебег мерљив, и ${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.}$ Овде ${\displaystyle |I|}$ означава дужину интервала .
2. Ако је дисјунктна унија коначно много или пребројиво много дисјунктних Лебег мерљивих скупова, онда је и сам скуп Лебег мерљив и је једнако збиру (односно суми реда уколико је број сабирака бесконачан) мера скупова који припадају унији.
3. Ако је Лебег мерљив, онда је и његов комплемент Лебег мерљив.
4. за сваки Лебег мерљив скуп .
5. Ако су и Лебег мерљиви и је подскуп од , онда је . (последица тачака 2, 3 и 4.)
6. Пребројиве уније и пресеци Лебег мерљивих скупова су Лебег мерљиви.^[1]
7. Ако је отворен или затворен подскуп од (или чак Борелов скуп), онда је Лебег мерљив.
8. Ако је Лебег мерљив скуп, онда је он „приближно отворен“ и „приближно затворен“ у смислу мере Лебега (видети: теорема регуларности за меру Лебега).
9. Мера Лебега је уједно и локално коначна и регуларна изнутра, па је она и Радонова мера.
10. Мера Лебега је строго позитивна на непразним отвореним скуповима, па је њен носач цео простор .
11. Ако је Лебег мерљив скуп са (скуп мере нула), онда је сваки подскуп од такође скуп мере нула. А фортиори је сваки подскуп од мерљив.
12. Ако је Лебег мерљив и је елемент од , онда је транслат скупа за , дефинисан као такође Лебег мерљив и има исту меру као .
13. Ако је Лебег мерљив, и ${\displaystyle \delta >0}$, онда је дилатација ${\displaystyle A}$ фактором ${\displaystyle \delta }$, дефинисана као ${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$ такође Лебег мерљива и има меру ${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A)}$.
14. Општије, ако је линеарна трансформација и је мерљив подскуп од , онда је такође Лебег мерљив скуп и има меру ${\displaystyle |\det(T)|\lambda (A)}$.

Сви горњи искази се могу сумирати на следећи начин:

Лебег мерљиви скупови граде σ-алгебру која садржи све производе интервала и λ је јединствена комплетна транслационо-инваријантна мера на тој σ-алгебри таква да је ${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

Лебег мера такође има својство да је σ-коначна.

Нула скупови

Главни чланак: нула скуп

Подскуп од је нула скуп ако, за свако > 0, може да буде покривен помоћу пребројиво много производа интервала чији је укупна запремина највише . Сви пребројиви скупови су нула скупови.

Ако подскуп од има Хаусдорфову димензију мању од онда је он нула скуп у односу на -димензиону Лебег меру. Овде је Хаусдорфова димензија у вези са еуклидском метриком на (или било којом метриком која је са њом Липшиц-инваријантна). Са друге стране, скуп може да има тополошку димензију мању од , а да има позитивну -димензиону Лебег меру. Пример овога је Сми-Волтера-Канторов скуп чија је тополошка димензија 0 а ипак има позитивну 1-димензиону меру Лебега.

Како би се показало да је дати скуп Лебег мерљив, обично се тражи згоднији скуп , који се од разликује само за нула скуп (у смислу да је симетрична разлика нула скуп) и онда се покаже да се може генерисати коришћењем пребројивих унија и пресека отворених или затворених скупова (односно, да је Борелов скуп). За сваки Лебег мерљив скуп постоји Борел мерљив скуп такав да је нула скуп.

Конструкција мере Лебега

Модерну конструкцију мере Лебега засновану на спољашњим мерама, је дао Каратеодори.

Фиксира се ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Кутија у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ је скуп облика ${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]}$, где је ${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$. Запремина ${\displaystyle \operatorname {vol} (B)}$ ове кутије се дефинише као ${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i}).}$

За сваки подскуп од , може се дефинисати његова спољашња мера ${\displaystyle \lambda ^{*}(A)}$ као:

${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf {\Bigl \{}\sum _{j\in J}\operatorname {vol} (B_{j}):\{B_{j}:j\in J\}{\text{ je prebrojiva kolekcija kutija cija unija pokriva }}A{\Bigr \}}.}$

Затим се дефинише да је скуп Лебег мерљив ако

${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S-A)}$

за све скупове ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$. Ови Лебег мерљиви скупови формирају σ-алгебру, и мера Лебега се дефинише на овој σ-алгебри као за сваки Лебег мерљив скуп .

По Виталијевој теореми постоји подскуп реалних бројева , такав да није Лебег мерљив. Важи и много више: ако је било који подскуп од ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ позитивне мере, онда има подскупове који нису Лебег мерљиви.

Однос са другим мерама

Борелова мера је сагласна са мером Лебега на оним скуповима на којима је дефинисана; међутим, постоје много више Лебег мерљивих скупова него Борел мерљивих скупова. Прецизније, може се показати да је σ-алгебра Борел мерљивих скупова кардиналности (кардиналност континуума), док је σ-алгебра Лебег мерљивих скупова строго веће кардиналности (види Канторов дијагонални поступак). Борелова мера је транслационо-инваријантна, али није комплетна.

Мера Хара се може дефинисати на свакој локално компактној групи и представља уопштење мере Лебега (која представља меру Хара на са структуром локално компактне групе у односу на сабирање).

Хаусдорфова мера (видети: Хаусдорфова димензија) је уопштење мере Лебега које је корисно за мерење подскупова од димензија мањих од , као што су подмногострукости на пример, површи или криве у . Не треба мешати Хаусдорфову меру и појам Хаусдорфове димензије.

Може се показати да не постоји аналогон мере Лебега у просторима бесконачне димензије.

Мера Лебега даје један појам „малих скупова“, наиме скупова мере нула, за које кажемо да су „мали“ у смислу теорије мере. Постоје и други појмови „малих скупова“, као што су, на пример пребројиво бесконачни скупови („мали“ у смислу кардиналности) или скупови прве категорије („мали“ у тополошком смислу Берове теорије категорија). Ови појмови нису увек компатибилни; на пример, интервал [0,1] се може представити као дисјунктна унија скупа прве категорије и скупа мере нула.

Историја

Анри Лебег је ову меру описао 1901, а следеће године је описао Лебегову интеграцију. И један и други појам су објављени као део његове дисертације 1902.