Ојлеров идентитет

From Wikipedia, the free encyclopedia

Remove ads

Ојлеров идентитет[n 1] је у математици назив за формулу:

која представља везу између тригонометријских функција и комплексних бројева. Број је Ојлеров број (база природног логаритма), имагинара јединица комплексних бројева, а угао.[3][4][5]

Једначина се први пут појавила у књизи Леонарда Ојлера објављеној у Лозани (Швајцарска) по коме је и добила име.

Иако је првобитна претпоставка била , једначина важи и за .

За угао добија се идентитет

или мало другачији облик Ојлеровог идентитета[6][7]

се често назива најдивнијом формулом математике јер повезује фундаменталне бројеве , , , 1, и 0 (нула), основне математичке радње, сабирање, множење и степеновање, и најважнију релацију =, и ништа више.[8][9][10]

Постоји неколико метода којима се може доћи до ове једначине користећи уобичајена својства експоненцијалне функције (извод, мултипликативно својство, и слично). Данас се Ојлеров идентитет често користи како би се за комплексне вредности аргумента прво дефинисала експоненцијална функција:

а затим се из те дефиниције даље доказују њена основна својства.

Remove ads

Прва метода

Посматрамо функцију:

Именилац никада није нула, јер важи:

Ојлеров идентитет тврди да је за све вредности .

Прво доказујемо да је функција константна, односно да је њен извод за све :

Знамо да је извод од :

Следи:

значи да се функција никада не мења. Да би добили њену вредност довољно је израчунати је за неку вредност по избору, у нашем случају биће то :

Добили смо дакле жељени резултат.

Remove ads

Друга метода

Друга метода се користи редовима за , и . Знамо да ове три функције можемо написати као:

Из тога следи да можемо поделити:

За добијамо , што је наш тражени резултат.

Remove ads

Математичка лепота

Ојлеров идентитет се често наводи као пример дубоке математичке лепоте.[11] Три основне аритметичке операције се дешавају тачно једном: сабирање, множење и степеновање. Идентитет такође повезује пет основних математичких константи:[12]

Даље, једначина је дата у облику скупа израза једнаког нули, што је уобичајена пракса у неколико области математике.

Професор математике на Универзитету Стенфорд Кит Девлин је рекао: „попут Шекспировог сонета који хвата саму суштину љубави, или слике која открива лепоту људског облика који је много више од површности, Ојлерова једначина сеже у саму дубине постојања“.[16] Пол Нахин, професор емеритус на Универзитету у Њу Хемпширу, који је написао књигу посвећену Ојлеровој формули и њеној примени у Фуријеовој анализи, описује Ојлеров идентитет као устројство „изузетне лепоте“.[17]

Писац математике Констанс Рид изнела је мишљење да је Ојлеров идентитет „најпознатија формула у целој математици“.[18] Бенџамин Пирс, амерички филозоф, математичар и професор на Универзитету Харвард из 19. века, након што је доказао Ојлеров идентитет током предавања, изјавио је да је идентитет „апсолутно парадоксалан; не можемо да га разумемо, и не знамо шта значи, али ми смо то доказали и стога знамо да то мора бити истина“.[19]

Анкета читалаца коју је спровео часопис The Mathematical Intelligencer 1990. године назвала је Ојлеров идентитет „најлепшом теоремом у математици“.[20] У другој анкети читалаца коју је спровео часопис Physics World 2004. године, Ојлеров идентитет је повезан са Максвеловим једначинама (електромагнетизма) као „највећа једначина икада“.[21]

Најмање три књиге популарне математике су објављене о Ојлеровом идентитету:

  • Невероватна формула др Ојлера: Лечи многе математичке болести, Пол Нахин (2011)[22]
  • Најелегантнија једначина: Ојлерова формула и лепота математике, Дејвид Стип (2017)[23]
  • Ојлерова пионирска једначина: Најлепша теорема у математици, Робин Вилсон (2018).[24]
Remove ads

Напомене

  1. Термин „Ојлерова идентичност” (или „Ојлеров идентитет”) такође се другде користи за означавање других концепата, укључујући сродну општу формулу eix = cos x + i sin x,[1] и формулу Ојлеровог продукта.[2]

Референце

Литература

Спољашње везе

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads