Параболичке координате

Параболички координатни систем у две димензије има координатне линије представљене конфокалним параболама. У три димензије параболичке координате се добијају ротирањем дводимензионалнога система око оси симетрије парабола.

Дводимензионалне параболичке координате

У дводимензионалном систему параболичке координате ${\displaystyle (\sigma ,\;\tau )}$ одређене су са:

${\displaystyle x=\sigma \tau ,}$

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}(\tau ^{2}-\sigma ^{2}).}$

Криве константнога ${\displaystyle \sigma }$ обликују конфокалне параболе:

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

које су отворене нагоре. С друге стране криве константнога ${\displaystyle \tau }$ обликују конфокалне параболе:

${\displaystyle 2y=\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

које су отворене надоле. Фолуси обе параболе су у исходишту.

Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти параболичких координата су:

${\displaystyle H_{\sigma }=H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}.}$

Елементи површине су:

${\displaystyle dS=(\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau ,}$

а Лапласијан је:

${\displaystyle \Delta \Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).}$

Тродимензионалне параболичке координате

Постоје два облика тродимензионалних параболичких координата. Према једној верзији параболе се ротирају око своје оси симетрије, па је трансформација координата:

${\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }$

${\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }$

${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2\sigma ^{2}\right)}$

Ос параболопоида слаже се са ${\displaystyle z}$ оси, а азимутални угао ${\displaystyle \phi }$ је дефинисан као:

${\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}$

Површи константнога ${\displaystyle \sigma }$ чине конфокалне параболоиде:

${\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$

који су отворени нагоре. Површи константнога ${\displaystyle \tau }$ чине конфокалне параболоиде:

${\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$

који су отворени надоле. Риманов метрички тензор тога координатнога система је:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}$

Ламеови коефицијенти

Ламеови коефицијенти параболичких координата у тродимензионалном простору су:

${\displaystyle H_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}$

${\displaystyle H_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}},}$

${\displaystyle H_{\varphi }=\sigma \tau .}$

Инфинитезимална запремина је онда дана са:

${\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau (\sigma ^{2}+\tau ^{2})\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi ,}$

а Лапласијан је

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Друга верзија тродимензионалних параболичких координата

${\displaystyle {\begin{cases}x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \varphi ,\\y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \varphi ,\\z={\dfrac {1}{2}}(\xi -\eta ).\end{cases}}}$

Ламеови коефицијенти су онда:

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{\xi }={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\xi }}}}\\H_{\eta }={\frac {\sqrt {\xi +\eta }}{2{\sqrt {\eta }}}}\\H_{\varphi }={\sqrt {\eta \xi }}\end{matrix}}}$.

Инфинитезимална запремина је онда дана са:

${\displaystyle dV={\frac {\xi +\eta }{4}}\,d\xi \,d\eta \,d\varphi ,}$

а Лапласијан је

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {4}{\xi +\eta }}\left[{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left(\xi {\frac {\partial \Phi }{\partial \xi }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \eta }}\left(\eta {\frac {\partial \Phi }{\partial \eta }}\right)\right]+{\frac {1}{\xi \eta }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}.}$

Литература

• Параболичке координате

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Елиптични координатни систем