Површински интеграл

Површински интеграл у математици представља генерализацију вишеструких интеграла за интеграцију преко површина. Може се сматрати као двоструки интеграл аналогно криволинијском интегралу. С обзиром на површину, може се интегрисати преко њених скаларних поља (тј. функција које враћају скаларе као вредности) и векторских поља (тј. функција које враћају векторе као вредности).

Дефиниција површинског интеграла се ослања на поделу површине на мање површинске елементе.

Површински интеграли имају примену у физици, делом са теоријама класичног електромагнетизма.

Површински интеграл скаларних поља

Како би се пронашла експлицитна формула за површински интеграл, потребно је параметризовати површину интереса, S, сматрајући систем криволинијских координата на S, као и географску ширину и дужину на сфери. Нека таква параметризација буде ${\displaystyle x}$ (s, t), где (s, t) варира у некој области Т у равни. Затим, површински интеграл је дат

${\displaystyle \iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right\|\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где је израз између линија на десној страни величина унакрсног производа парцијалних извода ${\displaystyle x}$ (s, t) и познат је као површински елемент. Површински интеграл се такође може изразити у еквивалентном облику

${\displaystyle \iint \limits _{S}f\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}f(\mathbf {x} (s,t)){\sqrt {g}}\,\mathrm {d} s\,\mathrm {d} t}$

где је g детерминанта првог фундаменталног облика површинског пресликавања ${\displaystyle x}$ (s, t).^[1][2]

На пример, ако желимо да нађемо површину графа неке скаларне функције, рецимо ${\displaystyle z=f(x,y)}$, имамо

${\displaystyle {\displaystyle A=\iint \limits _{S}\,\mathrm {d} \Sigma =\iint \limits _{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}}$

где је ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}\mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}$. Тако да ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f_{x}(x,y))}$ и ${\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f_{y}(x,y))}$следи

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\\&{}=\iint \limits _{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\end{aligned}}}}$

што је стандардна формула за површину површине описане на овај начин. Вектор се може препознати у другом реду изнад као нормалан вектор на површину.

Треба имати на уму да, због присуства унакрсног производа, горенаведене формуле вреде само за површине уграђене у тродимензионални простор.

Види још

• Криволинијски интеграл
• Запремински интеграл
• Декартов координатни систем
• Сферни координатни систем
• Цилиндрични координатни систем