Рикатијева једначина

Рикатијева једначина је диференцијална једначина облика:

${\displaystyle y'=P(x)+Q(x)y+R(x)y^{2}}$,

где су ${\displaystyle P(x)\neq 0}$ и ${\displaystyle R(x)\neq 0}$. У случају ${\displaystyle P(x)=0}$ једнака је Бернулијевој једначини. Добила је име по италијанском математичару Јакопу Рикатију.

Редукција на линеарну једначину другога реда

Нелинеарна Рикатијева једначина:

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

може да се редукује на линеарну диференцијалну једначину другога реда, па се онда решавањем те једначине може да се реши и Рикатијева једначина. У случају да ${\displaystyle q_{2}}$ није једнак нули тада се супституцијом ${\displaystyle v=yq_{2}}$ од Рикатијеве једначине добија:

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$.

Ако ту означимо ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ и ${\displaystyle R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)}$ онда Рикатијева једначина постаје облика:

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x).\!}$

Уведемо ли супституцију ${\displaystyle v=-u'/u}$ онда следи:

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$ и одатле:

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

односно добија се диференцијална једначина за ${\displaystyle u}$:

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

Решавање интеграцијом

Знамо ли једно од парцијалних решења ${\displaystyle y_{1}}$ Рикатијеве једначине тада се опште решење може представити као:

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

Супституцијом тога решења у Рикатијевој једначини добијамо:

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

и онда:

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2}}$

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

тј. добија се Бернулијева диференцијална једначина:

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$.

Бернулијеву једначину решавамо супституцијом

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$ тј.

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

па се од Рикатијеве једначине добија линеарна једначина:

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

Литература

• Рикатијева једначина