Ротор (математика)

Ротор векторског поља дефинише се као:${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})=\nabla \times {\overrightarrow {v}}={\begin{vmatrix}{\overrightarrow {i}}&{\overrightarrow {j}}&{\overrightarrow {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{vmatrix}}}$^[1], где је ${\displaystyle {\overrightarrow {v}}(x,y,z)={\begin{pmatrix}v_{x}(x,y,z)\\v_{y}(x,y,z)\\v_{z}(x,y,z)\end{pmatrix}}}$- вектор чије су компоненте функције Декартових координата.

Доказ

Векторско поље на инфинитезималним декартовим контурама

Како се ротор векторског поља увек рачуна за вртложна поља, тј. поља са вртлогом бар у једној тачки, то нас занима гранични процес за малу контуру правоугаоног облика у ${\displaystyle xOy}$ равних ивица ${\displaystyle \Delta x}$ и ${\displaystyle \Delta y}$ као на слици, како би добили z-компоненту ротора векторског поља у датој тачки

${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})_{z}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}}{\Delta S}}}$, где је ${\displaystyle \oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}}$- циркулација векторског поља по контури површине ${\displaystyle \Delta S=\Delta x\Delta y}$, ${\displaystyle \lim _{\Delta x\Delta y\to 0}{\frac {-v_{x}(x,y,z)\Delta x+v_{x}(x,y+\Delta y,z)\Delta x+v_{y}(x,y,z)\Delta y-v_{y}(x+\Delta x,y,z)\Delta y}{\Delta x\Delta y}}}$=

${\displaystyle \lim _{\Delta x\Delta y\to 0}{\frac {-{\frac {\partial v_{x}(x,y,z)}{\partial y}}\Delta x\Delta y+{\frac {\partial v_{y}(x,y,z)}{\partial x}}\Delta x\Delta y}{\Delta x\Delta y}}=-{\frac {\partial v_{x}(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}(x,y,z)}{\partial x}}}$, добили смо ${\displaystyle z}$

компоненту ротора векторског поља ${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})_{z}}$. Поступак се понавља за контуру у xOz равни или за ${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})_{y}}$, односно контуру yOz или за ${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})_{x}}$, те се добија почетно тврђење.

Ротор у генералисаним координатама

При одређеним симетријама проблема, на пример, цилиндричним или сферним, једноставније је посматрати ротор у генералисаним координатама. ${\displaystyle \nabla \times {\overrightarrow {v}}={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\begin{vmatrix}h_{1}{\overrightarrow {e}}_{1}&h_{2}{\overrightarrow {e}}_{2}&h_{3}{\overrightarrow {e}}_{3}\\{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}&{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\\h_{1}v_{1}&h_{2}v_{2}&h_{3}v_{3}\end{vmatrix}}}$

Доказ

.${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})=rot({\overrightarrow {v}})_{1}\cdot {\overrightarrow {e}}_{1}+rot({\overrightarrow {v}})_{2}\cdot {\overrightarrow {e}}_{2}+rot({\overrightarrow {v}})_{3}\cdot {\overrightarrow {e}}_{3}}$ , где су ${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})_{i}=rot({\overrightarrow {v}})\cdot {\overrightarrow {e}}_{i}}$${\displaystyle ,i=1,2,3}$-компоненте ротора дуж генералисаних ортова ${\displaystyle {\overrightarrow {e}}_{i}={\frac {1}{h_{i}}}{\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{i}}}$, ${\displaystyle h_{i}={\sqrt {{\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{i}}\cdot {\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{i}}}}}$, па се компонента ${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})_{1}}$рачуна као ${\displaystyle rot({\overrightarrow {v}})_{3}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}}{\Delta S}}}$ ,${\displaystyle {\overrightarrow {\Delta S}}={\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{1}}\times {\partial {\overrightarrow {r}} \over dq_{2}}\Delta q_{1}\Delta q_{2}=h_{1}h_{2}{\overrightarrow {e}}_{q_{1}}\times {\overrightarrow {e}}_{q_{2}}\Delta q_{1}\Delta q_{2}}$, стим да су Ламеови коефициенти ${\displaystyle h_{1}}$и ${\displaystyle h_{2}}$ функције генералисаних координата.

${\displaystyle \lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint {\overrightarrow {v}}{\overrightarrow {dr}}}{\Delta S}}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {-v_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{1}(q_{1},q_{2},q_{3})+v_{1}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{2},q_{3})h_{1}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{2},q_{3})+v_{2}(q_{1},q_{2},q_{3})h_{2}(q_{1},q_{2},q_{3})-v_{2}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{1},q_{3})h_{2}(q_{1},q_{2}+\Delta q_{1},q_{3})}{h_{1}h_{2}\Delta q_{1}\Delta q_{2}}}}$

${\displaystyle \lim _{\Delta q_{1}\Delta q_{2}\to 0}{\frac { {\displaystyle \mu _{0}{\overrightarrow {j}}={\frac {1}{1\cdot \rho \cdot 1}}{\begin{vmatrix}1\cdot {\overrightarrow {e}}_{\rho }&\rho {\overrightarrow {e}}_{\phi }&1\cdot {\overrightarrow {k}}\\{\frac {\partial }{\partial \rho }}&{\frac {\partial }{\partial \phi }}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\1\cdot B_{\rho }&\rho B_{\phi }&1\cdot B_{z}\end{vmatrix}}}$=> ${\displaystyle \mu _{0}j={\partial {\Bigl (}\rho B_{\phi }{\Bigr )} \over \rho \partial \rho }}$,

Појам векторског магнетног потенцијала

Интеграција по затвореној струјној контури

Из Био Саваровог закона у интегралном облику:${\displaystyle {\overrightarrow {B}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint \limits _{C}\displaystyle {Id{\overrightarrow {l}}\times {\overrightarrow {R}} \over R^{3}}}$, где је I- јачина електричне струје кроз проводну контуру С, ${\displaystyle d{\overrightarrow {l}}}$-инфинитезимална промена вектора положаја по контури С,${\displaystyle {\overrightarrow {R}}={\overrightarrow {r}{\overrightarrow {l}}}$, ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}}$- вектор положаја тачке у којој се посматра магнетно поље струјне контуре С, ${\displaystyle {\overrightarrow {l}}}$- вектор положаја који шета по контури.

Како је ${\displaystyle {{\overrightarrow {R}} \over R^{3}}=-\nabla {\Bigl (}{\frac {1}{R}}{\Bigr )}}$ за ${\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}{\overrightarrow {i}}+{\partial \over \partial y}{\overrightarrow {j}}+{\partial \over \partial z}{\overrightarrow {k}}}$и ${\displaystyle d{\overrightarrow {l}}\times -\nabla {\Bigl (}{\frac {1}{R}}{\Bigr )}=\nabla {\Bigl (}{\frac {1}{R}}{\Bigr )}\times d{\overrightarrow {l}}}$то магнетно поље можемо изразити као ${\displaystyle {\overrightarrow {B}}=rot{\overrightarrow {A}}}$, где је ${\displaystyle {\overrightarrow {A}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint \limits _{C}\displaystyle {Id{\overrightarrow {l}} \over R}}$

одавде следи да је Магнетно поље вртложно јер је његова дивргенција једнака 0,${\displaystyle div(rot{\overrightarrow {A}})=0}$

Доказ

${\displaystyle div(rot{\overrightarrow {A}})=[\nabla ,\nabla ,{\overrightarrow {A}}]=\nabla \cdot \nabla \times {\overrightarrow {A}}=-\nabla \times \nabla \cdot {\overrightarrow {A}}}$, али како је ${\displaystyle \nabla \times \nabla =0}$, јер је векторски производ колинеарних вектора увек 0 следи почетно тврђење.