Секанс

Секанс је тригонометријска функција изведена из функције косинуса.

Секанс
Основне особине
Парност	парна
Домен	(-π/2+π,π/2+π), из
Кодомен	(-∞,1] и [1,∞)
Период	2π
Специфичне вредности
Лок. максимуми	((2+1)π,-1)
Лок. минимуми	(2π,1)
Специфичне особине
Асимптоте	( + 1/2)π
Променљива је цео број

Дефиниција гласи:

${\displaystyle \operatorname {sec} \;x={\frac {1}{\cos x}}}$

Веза са косекансом

${\displaystyle \operatorname {sec} \;x=\operatorname {cosec} \,(\pi /2-x)}$

док је Питагорин идентитет, идентитет заснован на Питагориној теореми, који повезује тригонометријске функције

${\displaystyle 1+\tan ^{2}(\alpha )=\operatorname {sec} ^{2}(\alpha )}$

Као и остале тригонометријске функције и секанс представља однос између двеју страница правоуглог троугла. Секанс је однос хипотенузе и налегле катете.^[1] (Сл.1.)

${\displaystyle \operatorname {sec} \;\phi ={\frac {r}{x}}}$ Сл.1. Тригонометријски троугао

На тригонометријском кругу је вредност секанса једнака величини следеће дужи

${\displaystyle \sec \phi ={\overline {OE}}}$ Сл.2. Тригонометријска кружница

Неке карактеристичне вредности

степени	0°	30°	45°	60°	90°
радијана	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$
${\displaystyle \sec \phi \,}$	${\displaystyle 1\;}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2\;}$	${\displaystyle \pm \infty \;}$

Репрезентација функције

Представљање функције у виду Тејлоровог реда у околини тачке ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle \sec x=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots \qquad {\textrm {za}}\ |x|<{\frac {\pi }{2}}}$

односно уопштено

${\displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

где су ${\displaystyle E_{k}\!}$ у формули Ојлерови бројеви.

Могуће је такође представити и у виду

${\displaystyle \sec(x)=\pi \,\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(8k+4)}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}-4x^{2}}}\quad {\mbox{ za }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}$

Особине функције

Детаљном анализом се могу утврдити карактеристичне особине функције.

• Област дефинисаности функције:

функција је дефинисана у скупу реалних бројева ${\displaystyle \mathbb {R} }$, сем у пребројиво много тачака где има прекиде

${\displaystyle -\infty <x<+\infty \quad$ ;\quad x\neq \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }

• Област вредности функције:

функција узима вредности у опсегу реалних бројева, сем у области -1 до 1

${\displaystyle -\infty <\operatorname {sec} (x)\leq -1\quad \cup \quad 1\leq \operatorname {sec} (x)<+\infty }$

• Парност

функција је парна

${\displaystyle \operatorname {sec} (-x)=\operatorname {sec} (x)}$

• Периодичност

функција је периодична са основном периодом 2π

${\displaystyle \operatorname {sec} (x+2\pi )=\operatorname {sec} (x)}$

• Асимптоте

функција има вертикалне асимптоте у тачкама

${\displaystyle x=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }$

функција нема хоризонталне и косе асимптоте

• Нуле функције

функција нема нуле

• Монотоност функције
• Екстремуми

нема глобални екстремум

локални минимум

${\displaystyle \operatorname {sec} (2n\cdot \pi )=1\,;\,n\in \mathbb {Z} }$

локални максимум

${\displaystyle \operatorname {sec} ((2n+1)\cdot \pi )=-1\,;\,n\in \mathbb {Z} }$

• Конвексност и конкавност функције

функција је конвексна у интервалу

${\displaystyle -\pi /2+2n\pi <x<\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }$

функција је конкавна у интервалу

${\displaystyle \pi /2+2n\pi <x<3\pi /2+2n\pi \,;\,n\in \mathbb {Z} }$

• Превојне тачке

функција нема превојне тачке

Извод функције

Први извод функције је

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {sec} (x)=\operatorname {sec} (x)\cdot \tan(x)={\frac {\operatorname {sec} ^{2}(x)}{\operatorname {cosec} (x)}}}$

Интеграл

Неодређени интеграл функције

${\displaystyle \int \sec(x)\,\mathrm {d} x=\ln \left|{\frac {1+\sin(x)}{\cos(x)}}\right|=\ln {\Big |}\sec(x)+\tan(x){\Big |}}$

Историја

Први пут се скраћеница појављује 1626. године у књизи Албера Жерара о тригонометрији.^[2]