Скаларни производ вектора

Скаларни производ вектора је бинарна операција која као аргументе узима два вектора а резултат јој је скалар.^[1][2][3] То је посебан случај унутрашњег множења простора. Ако су ова два вектора и из векторског простора ,^[4][5] запис ове операције је следећи:

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

Скаларним производом се зове свако пресликавање које има следеће особине:

${\displaystyle (u+v)\cdot w=u\cdot w+v\cdot w}$

${\displaystyle (\alpha u)\cdot v=\alpha (u\cdot v)}$

${\displaystyle u\cdot v=v\cdot u}$

${\displaystyle u\neq 0\Rightarrow u\cdot u>0}$

При чему су , и вектори из а α произвољан реалан број.

Приказ стандардног скаларног производа вектора

Скаларни производ вектора ${\displaystyle {\vec {x}}}$ и ${\displaystyle {\vec {y}}}$ се дефинише на следећи начин:^[6][7]

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=x_{1}\,y_{1}+x_{2}\,y_{2}+\ldots +x_{n}\,y_{n}}$

Притом су ${\displaystyle |{\vec {x}}|}$ и ${\displaystyle |{\vec {y}}|}$ интензитети тих вектора, одређених следећим координатама:

${\displaystyle {\vec {x}}=(x_{1},x_{2},\dots x_{n})}$ и ${\displaystyle {\vec {y}}=(y_{1},y_{2},\dots y_{n})}$

Пример скаларног множења вектора (1, 3, −5) и (4, −2, −1) у тродимензионалном простору:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)\\&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3\end{aligned}}}$

Доказ

Формула :${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\cdot |{\vec {y}}|\cdot \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$ се може доказати посматрањем два вектора са заједничким почетком и њихове разлике:

Ако је ${\displaystyle \gamma }$, угао између два вектора чији скаларни производ треба пронаћи, коришћењем косинусне теореме може се писати:

${\displaystyle |{\vec {c}}|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Пошто је ${\displaystyle {\vec {c}}}$ једнак ${\displaystyle {\vec {b}}\vec {a}}}$, следи:

${\displaystyle |{\vec {b}}^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{22|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Одакле се налази:

${\displaystyle \left({\vec {b}}\vec {a}}\right)\cdot \left({\vec {b}{\vec {a}}\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

${\displaystyle {\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }}$

Одатле се добија коначна формула:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cdot \cos {\gamma }.}$

Ортогонални вектори

Заменом вредности угла у претходној формули за случај да су вектори ${\displaystyle {\vec {x}}}$ и ${\displaystyle {\vec {y}}}$ узајамно нормални добија се:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=0}$.

Ова особина је често корисна за доказивање да су вектори узајамно нормални, јер је за то довољно и неопходно да им скаларни производ буде једнак нули.

Особине

Скаларни производ вектора поседује следеће особине:

• комутативност

${\displaystyle {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}={{\vec {b}}\cdot {\vec {a}}}}$

• дистрибутиван је у односу на сабирање

${\displaystyle ({\vec {a}}+{\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot {\vec {c}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}}$

• у општем случају није асоцијативан
• за њега важи следеће:

${\displaystyle (\alpha {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot (\alpha {\vec {b}})=\alpha {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}$

Коришћење за израчунавање интензитета вектора

Коришћењем скаларног производа вектора може се извести формула за интензитет вектора.^[8]

Пошто је:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}.}$

За специјалан случај када је ${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {y}}}$ једнакост прелази у: ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {x}}={x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}$

На основу тога се закључује:

${\displaystyle |{\vec {x}}|={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}.}$

Овај образац представља формулу за израчунавање интензитета вектора.

Примена у физици

Пошто су сами вектори примењиви у физици и скаларни производ вектора налази примену у њој. Тако се на пример рад дефинише као скаларни производ вектора силе и вектора помераја:

${\displaystyle A={\vec {F}}\cdot {\vec {r}}=|{\vec {F}}|\cdot |{\vec {r}}|\cdot \cos \alpha }$

Геометријска интерпретација

Пошто је познато да је скаларни производ два вектора и производ њиховог интензитета са углом између њих, може се инверзном операцијом израчунати и угао.^[9][10]

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\cos \theta \,}$ ${\displaystyle \Longrightarrow }$ ${\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}\right).}$

Троструки производ

${\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ),}$ Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici

Пројекција вектора на вектор

Помоћу скаларног производа може се израчунати пројекција вектора на вектор^[11] тј.

• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {a_{b}}}}$ скаларна пројекција вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ na vektor ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \ cos\omega ={\overrightarrow {b_{a}}}}$ скаларна пројекција вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ na vektor ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$
• ${\displaystyle ({\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b_{0}}})*{\overrightarrow {b_{0}}}=a_{b}{\overrightarrow {b_{0}}}}$ векторска пројекција вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$ на вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$
• ${\displaystyle ({\overrightarrow {a_{0}}}{\overrightarrow {b}})*{\overrightarrow {a_{0}}}=b_{a}{\overrightarrow {a_{0}}}}$ векторска пројекција вектора ${\displaystyle {\overrightarrow {b}}}$ на вектор ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}}$

Последице скаларног множења

• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\cdot {\overrightarrow {b}}=0\Rightarrow {\overrightarrow {a}}\bot {\overrightarrow {b}}}$^[12]
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}=\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid \cos \ 0=\mid {\overrightarrow {a}}\mid ^{2}=>\mid {\overrightarrow {a}}\mid {\sqrt {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {a}}}}}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}=>{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0}$
• ${\displaystyle {\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}=0=>{\overrightarrow {a}}\perp {\overrightarrow {b}}}$ ili je bar jedan od vektora ${\displaystyle {\overrightarrow {0}}}$
• ${\displaystyle cos\omega ={\frac {{\overrightarrow {a}}{\overrightarrow {b}}}{\mid {\overrightarrow {a}}\mid \mid {\overrightarrow {a}}\mid }}}$ (${\displaystyle 0<\omega <\pi }$)

Види још

• Вектор
• Скалар
• Векторски производ вектора
• Мешовити производ вектора