Стјуартова теорема

У геометрији Стјуартова теорема указује на релацију дужина страница троугла и дужине дужи са једном крајњом тачком на страници тог троугла, а другом у темену наспрамном тој страници (слика 1). Именована је у част шкотског математичара Метјуа Стјуарта (енгл. . 1717/1719^[1] - 23. јануар 1785) који је доказао Стјуартову теорему 1749. Стјуартова теорема налаже да је:

${\displaystyle AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP}$ · ${\displaystyle CP\,}$

(Слика 1) Уз помоћ Стјуартове теореме можемо изразити дужину дужи d преко дужина a, b, c, n и m.

Доказ преко тригонометрије

Теорема може да се докаже на следећи начин:^[2]

Нека је θ угао између m и d, и θ′ угао између n и d. Онда је θ′ суплементан углу θ па је cos θ′ = −cos θ. Косинусна теорема за углове θ и θ′ налаже

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta \\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta '\\&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta .\,\end{aligned}}}$

Помножимо прву једначину са n, другу са m, и додамо да бисмо скратили cos θ, па добијамо

${\displaystyle {\begin{aligned}&b^{2}m+c^{2}n\\&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)(mn+d^{2})\\&=a(mn+d^{2})\\\end{aligned}}}$

И сређивањем се враћамо на првобитну форму:

${\displaystyle AP^{2}={\frac {BP}{BC}}AC^{2}+{\frac {CP}{BC}}AB^{2}-BP}$ · ${\displaystyle CP\,}$

Види још

• Троугао
• Тежишна дуж