Теорија категорија

Теорија категорија се користи да формализује математику и њене концепте као колекције објеката и стрелица (морфизама).^[1] Теорија категорија може да се користи да формализује већ постојеће теорије на вишем нивоу апстракције као што су теорија скупова, теорија прстена и теорија група. Неколико термина који се користе у теорији категорија, укључујући термин "морфизам", има различито значење у осталим областима математике.

Категорија са објектима X, Y, Z и морфизмима f, g, g ∘ f, и три идентичка морфизма (нису приказани) 1_X, 1_Y and 1_Z.

Објекти заједнице су дати објектима који су врхови графа, а њихови односи су означени усмереним бридовима, који се називају стрелицама или морфизмима. Свака категорија по дефиницији уз објекте и њихове усмерене односа представљене морфизмима имају задато асоцијативно пресликавање композиције оних парова стрелица које графички следе у низу (крај једне је почетак друге) и за сваки објект је изабрана посебна стрелица идентитета, којој је и почетак и крај на том објекту. На пример, категоријама се може формализовати заједница свих скупова и њихових пресликавања као односа, заједницу свих прстенова и њихових (хомо)морфизама и заједницу свих група и (хомо)морфизама група. У тим примерима се види да заједница може бити велика, тј. да чини класу у смислу теорије скупова.

Неколика термина кориштених у теорији категорија, укључујући термин „морфизам” се користе другачије него у специјализованим ситуацијама у математици. У теорији категорија, морфизми морају испуњавати само опште аксиоме из теорије категорија, а не специфичне аксиоме који се захтевају у неком другом контексту. Дакле, тај концепт је унутрашњи у заданој категорији.

Саундерс Маклејн и Самјуел Ејленберг су увели концепте категорија, функтора и природних трансформација у 1942-45 у њиховом проучавању алгебарске топологије, са циљем аксиоматизације појма природности и још неких својстава која су се понављала у више контекста.

Категорија теорија има практичну примену у теорији програмских језика, нпр. формализације семантике програмских језика и кориштење монада у функцијском програмирању. Аксиоматски приступ структури категорије (елементарна теорија категорија) није зависан од аксиоматике скупова и може се изучавати као један од алтернативних приступа темељима математике (уз теорију скупова, разне теорије типова итд).

Категорије

Категорија C се састоји од следећа три ентитета:

• Класе ob(C), чије елементе зовемо објекти;
• Класе hom(C), чије елементе зовемо морфизми или пресликавања или стрелице. Сваки морфизам f има свој домен a и кодомен b.
  

Израз f : a → b, се чита као "f је морфизам из a у b".
Израз hom(a, b) — користе се и ознаке hom_C(a, b), mor(a, b), или C(a, b) — означава класу свих морфизама изa у b.

• Бинарне операције ∘, коју називамо композиција морфизама, тако да за било која три објекта a, b, и c, важи hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c). Композицију f : a → b и g : b → c записујемо g ∘ f или gf, регулисана са две аксиоме:
  • Асоцијативност: Ако f : a → b, g : b → c и h : c → d онда је h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f, и
  • Идентитет (математика): За сваки објект x, постоји морфизам 1_x : x → x звани идентички морфизам x, тако да за сваки морфизам f : a → b, важи 1_b ∘ f = f = f ∘ 1_a.

Из аксиома се може доказати да постоји тачно један идентички морфизам за сваки објект. Неки аутори одступају од ове дефиниције идентификујући сваки објект са његовим идентичким морфизмом.

Односи међу морфизмима и типови морфизама

Релације између морфизама (попут fg = h) често се приказују графички помоћу комутативних дијаграма, са „тачкама” (врховима) представљајући објекте и „стрелицама” представљајући морфизме. Комутативност дијаграма означава да композиција свих морфизама уздуж било која два усмерена пута с међусобно истим почетком и међусобно истим крајем има исти резултат (не yависи од пута).

Морфизми могу имати било која од седећих својстава. Морфизам f : a → b је:

• мономорфизам (генерализирајући појам инјекције у категорији скупова) ако f ∘ g₁ = f ∘ g₂ повлачи g₁ = g₂ за све морфизме g₁, g₂ : x → a.
• епиморфизам (генерализирајући појам сурјекције у категорији скупова) ако g₁ ∘ f = g₂ ∘ f повлачи g₁ = g₂ за све морфизме g₁, g₂ : b → x.
• биморфизам ако је истовремено мономорфизам и епиморфизам.
• изоморфизам ако постоји морфизам g : b → a такав да је f ∘ g = 1_b and g ∘ f = 1_a.
• ендоморфизам ако је домен уједно и кодомен, a = b. end(a) означава класу ендоморфизама од a.
• аутоморфизам ако је изоморфизам с истом доменом и кодоменом. aut(a) означава класу ендоморфизама од a.
• ретракција (сажимање) ако десна инверзија од постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : b → a такав да f ∘ g = 1_b.^[2]
• пререз (секција) ако лева инверзија од постоји, т.ј. ако постоји морфизам g : b → a такав да g ∘ f = 1_a.

За категорију се каже да је балансирана ако је сваки биморфизам изоморфизам. На пример, све су Абелове категорије балансиране.

Свака ретракција је епиморфизам, и сваку пререз је мономорфизам. Надаље, следеће три тврдње су еквивалентне:

• је мономорфизам и ретракција;
• је епиморфизам и пререз;
• је изоморфизам.

Супротна категорија

Свакој категорији ${\displaystyle C}$ може се придружити супротна категорија ${\displaystyle C^{\circ }}$ која има исте објекте и морфизме, но морфизми иду у супротни смер. Тако за сваки објект ${\displaystyle x}$ има своју супротну копију ${\displaystyle x^{\circ }}$, а за морфизам ${\displaystyle f:x\to y}$ његову супротну копију ${\displaystyle f^{\circ }:y^{\circ }\to x^{\circ }}$ са замењеном доменом и кодоменом; при томе је композиција дефинисана с ${\displaystyle g^{\circ }\circ f^{\circ }:=(f\circ g)^{\circ }}$, а идентитет с ${\displaystyle 1_{x^{\circ }}:=(1_{x})^{\circ }:x^{\circ }\to x^{\circ }}$. Супротна категорија се назива такође двојствена или дуална категорија категорије ${\displaystyle C}$.

Види још

• Аксиоматска теорија скупова
• Зермело-Френкел теорија скупова
• Теорија група