Тригонометријска једначина

Тригонометријска једначина је једначина код које се непозната јавља као аргумент тригонометријске функције.

Решити тригонометријску једначину значи одредити све вредности непознате за које је дата једначина задовољена.

Једначина sin x = a

Ова једначина има решења тада и само тада ако је -1 ≤ a ≤ +1 и онда постоји јединствени угао α у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је синус једнак а, па имамо једначину sin x = sin α која има два бесконачна скупа решења:

• x_p = α + 2pπ
• x_m = (π - α) + 2π, где су p, m = 0, ±1, ±2,...

Лако се уочава да се ове две формуле могу сјединити у једну

• x_n = (-1)ⁿα + aπ, где је n = 0, ±1, ±2,...

Дакле, решења једначине могу се дати трећом формулом уместо прве две формуле.

Једначина cos x = a

Ова једначина има решења тада и само тада ако је -1 ≤ a ≤ +1 и онда постоји јединствен угао α у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је косинус једнак а, па имамо једначину cos x = cos α која има два скупа решења:

• x_p = α + 2pπ
• x_m = (π - α) + 2π, где су p, m = 0, ±1, ±2,...

Ове две формуле се могу сјединити у једну

• x_n = ±α + 2nπ, где је n = 0, ±1, ±2,...

Једначина tan x = a

Ова једначина има решења за свако а, и постоји јединствен угао α у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је тангенс једнак броју а, па имамо једначину tan x = tan α која има један скуп решења:

• x_n = α + 2nπ, где је n = 0, ±1, ±2,...

Једначина ctg x = a

Ова једначина има решења за свако а, и постоји јединствен угао α ≠ 0 у интервалу -½π ≤ α ≤ +½π чији је котангенс једнак броју а, па имамо једначину ctg x = ctg α одакле имамо:

• x_n = α + 2nπ, где је n = 0, ±1, ±2,...