Фермаова теорема (анализа)

Фермаова теорема је теорема у реалној анализи, названа по француском математичару по имену Пјер де Ферма. Она даје метод за проналажење локалних екстремума (максимума и минимума) диференцијабилних функција, показивањем да је сваки локални екстремум функције стационарна тачка (извод функције у тој тачки је једнак нули). Тако, коришћењем Фермаове теореме, проблем налажење екстремума може да се сведе на решавање једначине.

График диференцијабилне функције са линијама на минимуму и максимуму. Теорема о унутрашњем екстремуму гарантује да ће ове линије увек бити хоризонталне.

Овај чланак је о Фермаовој теореми о стационарним тачкама. За друге Фермаове теореме, погледајте Фермаова теорема.

Важно је имати у виду да Фермаова теорема даје само неопходан али не и довољан услов за локални екстремум функције. Значи неке стационарне тачке нису локални екстремуми, већ су превојне тачке. Да би се утврдило да ли је стационарна тачка локални екстремум функције, и ако јесте, да ли се ради о локалном максимуму или минимуму, неопходно је да се анализира други извод функције (ако он постоји)

Теорема

Нека је ${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ функција, и претпоставимо да је ${\displaystyle \displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ локални екстремум од ${\displaystyle \displaystyle f}$. Ако је ${\displaystyle \displaystyle f}$ диференцијабилна у ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ онда је ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0}$.

Види још

• Мала Фермаова теорема
• Велика Фермаова теорема