Циклична група

У теорији група, циклична група или моногена група је група која може бити генерисана само од једног свог елемента, у смислу да је да група има елемент („генератор“ групе) такав да, када се запише мултипликативно, сваки елемент групе је степен од (умножак од у случају адитивне нотације).

Дефиниција

Група се назива цикличном ако постоји елемент у , такав да за сваки цео број }. Како је свака група генерисана елементом групе подгрупа те групе, показивањем да је једина подгрупа групе која садржи сама , показује се да је циклична.

На пример, ако је , онда је циклична, и је у суштини иста као (до на изоморфизам) група { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } са сабирањем по модулу 6. То јест 1 + 2 6 = 3, 2 + 5 6 = 1, и тако даље. Може се користити изоморфизам φ дефинисан као φ() = 1.

За сваки позитиван цео број постоји тачно једна циклична група (до на изоморфизам) чији ред је , и постоји тачно једна бесконачна циклична група (цели бројеви у односу на сабирање). Стога су цикличне групе најједноставније групе.

Име 'циклична' може да доведе у забуну: могуће је генерисати бесконачно много елемената и не направити ниједан циклус; то јест, свако ${\displaystyle g^{n}}$ може бити различито. Група генерисана на овај начин је бесконачна циклична група, која је изоморфна адитивној групи целих бројева .

Групе се обично означавају адитивно на следећи начин: или . Мултипликативно, означавају се као . (На пример, , где је 3 + 4 = 2 ( 5) у /5.)

Све коначне цикличне групе су периодичне групе.

Својства

Свака циклична група је изоморфна групи { 0, 1, 2, ..., − 1 } у односу на сабирање по модулу , или , адитивној групи свих целих бројева. Због тога су циклична групе најједноставније групе за изучавање и имају бројна згодна својства. Дата је циклична група реда ( може бити бесконачно). За свако из ,

• је Абелова група; то јест, операција групе је комутативна: . Ово важи, јер је .
• Ако је бесконачно, тада ${\displaystyle g^{n}=e}$ јер .
• Ако је = ∞, тада постоје тачно два генератора: 1 и −1 за , а сви остали се пресликавају у њих под изоморфизмом у другим цикличним групама.
• Ако је коначно, тада постоји тачно φ() генератора, где је φ() Ојлерова фи функција
• Свака подгрупа од је циклична. Заиста, свака коначна подгрупа од је група { 0, 1, 2, 3, ... − 1} у односу на сабирање по модулу . А свака бесконачна подгрупа од је за неко , које је бијективно (изоморфно) са .
• је изоморфно са , јер ${\displaystyle \cong }$ { 0, 1, 2, 3, 4, ..., − 1} у односу на сабирање по модулу .

Генератори су класе остатака целих бројева који су узајамно прости са ; број тих генератора је познат као φ(), где је φ Ојлерова фи функција.

Општије, ако дели , тада је број елемената у , који су реда једнак φ(). Ред класе остатка од је / НЗД.

Ако је прост број, тада је једина група (до на изоморфизам) са елемената циклична група или .

Директан производ две цикличне групе и је цикличан ако и само ако су и узајамно прости. Стога, на пример /12 је директан производ /3 и /4, али није директан производ /6 и /2.

Дефиниција имплицира да цикличне групе имају врло једноставну презентацију групе .

Структурна теорема за коначне Абелове групе каже да је свака коначно генерисана Абелова група директан производ коначно много цикличних група.

и су такође комутативни прстени. Ако је прост, онда је коначно поље, што се такође означава са или . Свако поље са елемената је изоморфно овом пољу.

Јединице прстена су бројеви узајамно прости са . Они граде групу у односу на множење по модулу са φ() елемената. То се записује као . на пример, добијамо када је = 6, и = {1, 3, 5, 7} када је = 8.

Познато је да је циклична ако и само ако је једнако 2 или 4 или или 2 за прост број већи од два и ≥ 1, у ком случају се сваки генератор назива примитивним кореном по модулу . Стога, је циклично за = 6, али не за = 8, када је изоморфно Клајновој четворној групи.

Група је циклична са  − 1 елемената за свако просто , што се записује и као јер се састоји од не-нула елемената. Општије, свака коначна подгрупа мултипликативне групе било ког поља је циклична.

Примери

У две и три димензије симетрија групе за n-пута ротациону симетрију је , апстрактног типа групе . У три димензије постоје и друге симетрије групе које су алгебарски исте.

Треба имати у виду да група свих ротација круга (кружна група) није циклична, јер није ни пребројива.

^ти Де Моавров број гради цикличну групу реда у односу на множење, на пример, ${\displaystyle 0=z^{3}-1=(z-s^{0})(z-s^{1})(z-s^{2})}$ где је ${\displaystyle s^{i}=e^{2\pi i/3}}$ и група ${\displaystyle \{s^{0},s^{1},s^{2}\}}$ у односу на множење је циклична.

Представљање

Циклични графови коначних цикличних група су сви -тострани полигони. Црна тачка у цикличном графу представља неутрал, а остали чворови су елементи групе. Цикл се састоји од узастопних степена било ког елемента повезаног са неутралом.

1	2	3	4	5	6	7	8

Види још

• Циклични модуо
• Модуларна аритметика