Апсолутна конвергенција

За математички низ или интеграл каже се да је апсолутно конвергентан, ако је сума низа или интеграл апсолутних вредности чланова низа или функције под интегралом коначна.

Апсолутна конвергенција математичког низа

Реалан или комплексни низ ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ је апсолутно конвергентан ако: ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|<\infty .}$

Апсолутна конвергенција интеграла

Интеграл:

${\displaystyle \int _{A}f(x)\,dx}$

је апсолутно конвергентан ако је интеграл апсолутне вредности интеграљене функције коначан:

${\displaystyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$

Примери

• Низ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}}$ је апсолутно конвергентан јер важи: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{2}}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$.

• Низ степени експоненцијалне функције ${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}}$ је апсолутно конвергентан за свако комплексно ${\displaystyle z\;}$.
• Генерално важи да је низ потенција реалног или комплексног аргумента апсолутно конвергентан унутар радијуса конвергенције.
• Алтернирајући хармонијски низ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}}$ је конвергентан. Он, међутим, није апсолутно конвергентан, јер ако покушамо да докажемо конвергенцију добијамо: ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}\right|=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$, што је низ познат као хармонијски низ. Тај низ је дивергентан.

Види још

• Конвергенција
• Дивергенција