Бернулијева расподела

Шаблон:Бернулијева расподела

У теорији вероватноће и статистици, Бернулијева расподела, названа по швајцарском математичару Јакобу Бернулију, ^[1] је дискретна расподела вероватноће случајне променљиве која узима вредност 1 са вероватноћом ${\displaystyle p}$ а вредност 0 са вероватноћом ${\displaystyle q=1-p}$ . Мање формално, може се сматрати моделом за скуп могућих исхода било ког појединачног експеримента који поставља питање да-не. Таква питања довести до исхода који су Булови резултати: један бит чија је вредност успех / да / истина / један од вероватноћа p и неуспех / не / лажно / нула са вероватноћа К. Може се користити за представљање (могуће пристрасног) бацања новчића где би 1 и 0 представљали „главе「 и „писма「 (или обрнуто), а p би представљало вероватноћу да ће новчић пасти на главу или реп.

Бернулијева расподела је посебан случај биномне дистрибуције где се спроводи једно испитивање (тако да би n било 1 за такву биномну дистрибуцију). То је такође посебан случај дистрибуције у две тачке, за коју могући исходи не морају бити 0 и 1.

Својства

Ако је ${\displaystyle X}$ случајна променљива са овом расподелом, онда је:

${\displaystyle \Pr(X=1)=p=1-\Pr(X=0)=1-q.}$

Функција масе вероватноће функције ${\displaystyle f}$ ове расподеле, преко могућих исхода к, је

${\displaystyle f(k;p)={\begin{cases}p&{\text{if }}k=1,\\q=1-p&{\text{if }}k=0.\end{cases}}}$ ^[2]

Такође се може изразити као:

${\displaystyle f(k;p)=p^{k}(1-p)^{1-k}\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}}$

или се може изразити као:

${\displaystyle f(k;p)=pk+(1-p)(1-k)\quad {\text{for }}k\in \{0,1\}.}$

Бернулијева расподела је посебан случај биномске расподеле са ${\displaystyle n=1.}$

Куртозис иде у бесконачност за високе и ниске вредности параметра ${\displaystyle p,}$ али за параметар ${\displaystyle p=1/2}$ расподела у две тачке укључујући Бернулијеву расподелу има нижи вишак ексцеса од било које друге расподеле вероватноће, тј. −2.

Бернулијева расподела за ${\displaystyle 0\leq p\leq 1}$ формира експоненцијалну породицу .

Процена максималне вероватноће за параметар ${\displaystyle p}$ на основу случајно одабраног узорка је средња вредност узорка .

Значење

Очекивана вредност Бернулијеве случајно одабране променљиве ${\displaystyle X}$ је

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X\right)=p}$

Ово знамо због чињенице да је за Бернулијеву расподељену случајну променљиву ${\displaystyle X}$ са ${\displaystyle \Pr(X=1)=p}$ и ${\displaystyle \Pr(X=0)=q}$ налазимо:

${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\Pr(X=1)\cdot 1+\Pr(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p.}$ ^[2]

Променљивост

Расподела варијансе Бернулија ${\displaystyle X}$ је:

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=pq=p(1-p)}$

Прво можемо наћи:о

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{2}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{2}+\Pr(X=0)\cdot 0^{2}=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p=\operatorname {E} [X]}$

Из овога се да уследити:

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\operatorname {E} [X^{2}]-\operatorname {E} [X]^{2}=\operatorname {E} [X]-\operatorname {E} [X]^{2}=p-p^{2}=p(1-p)=pq}$

Са овим резултатом лако је доказати да ће за било коју Бернулијеву расподелу њена варијанса имати вредност у простирању ${\displaystyle [0,1/4]}$ .

Искривљеност (Skewness)

Искривљеност представља ${\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$ . Када усвојимо стандардизовану Бернулијеву расподељену случајну променљиву ${\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}}$ налазимо да ова случајна променљива достиже ${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$ са вероватноћом ${\displaystyle p}$ и постиже ${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$ са вероватноћом ${\displaystyle q}$ . Тако можемо да добијемо

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma _{1}&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}.\end{aligned}}}$

Виши моменти и кумуланти

Сви сирови(нобрађени) моменти су једнаки због чињенице да је ${\displaystyle 1^{k}=1}$ и ${\displaystyle 0^{k}=0}$ .

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=\Pr(X=1)\cdot 1^{k}+\Pr(X=0)\cdot 0^{k}=p\cdot 1+q\cdot 0=p=\operatorname {E} [X].}$

Централни тренутак реда ${\displaystyle k}$ даје следећу једначину:

${\displaystyle \mu _{k}=(1-p)(-p)^{k}+p(1-p)^{k}.}$

Првих шест централних момената су следећи:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{1}&=0,\\\mu _{2}&=p(1-p),\\\mu _{3}&=p(1-p)(1-2p),\\\mu _{4}&=p(1-p)(1-3p(1-p)),\\\mu _{5}&=p(1-p)(1-2p)(1-2p(1-p)),\\\mu _{6}&=p(1-p)(1-5p(1-p)(1-p(1-p))).\end{aligned}}}$

Док виши централни моменти могу се компактније изразити у терминима ${\displaystyle \mu _{2}}$ и ${\displaystyle \mu _{3}}$, што је приказано испод:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{4}&=\mu _{2}(1-3\mu _{2}),\\\mu _{5}&=\mu _{3}(1-2\mu _{2}),\\\mu _{6}&=\mu _{2}(1-5\mu _{2}(1-\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Првих шест кумуланата су следећи:

${\displaystyle {\begin{aligned}\kappa _{1}&=p,\\\kappa _{2}&=\mu _{2},\\\kappa _{3}&=\mu _{3},\\\kappa _{4}&=\mu _{2}(1-6\mu _{2}),\\\kappa _{5}&=\mu _{3}(1-12\mu _{2}),\\\kappa _{6}&=\mu _{2}(1-30\mu _{2}(1-4\mu _{2})).\end{aligned}}}$

Повезане расподеле

• Ако су ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$ независне, идентично распоређене ( i.i.d. ) случајне променљиве, сва Бернулијева испитивања са вероватноћом успеха p, онда се њихов збир распоређује према биномној расподели са параметрима n и p :

  ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}\sim \operatorname {B} (n,p)}$ ( биномна расподела).

Бернулијева расподела је једноставна ${\displaystyle \operatorname {B} (1,p)}$, такође написана као функција: ${\textstyle \mathrm {Bernoulli} (p).}$

• Категоријска расподела је генерализација Бернулијеве расподеле за променљиве са било којим константним бројем дискретних вредности.
• Бета дистрибуција је коњуговани претходник Бернулијеве расподеле.
• Геометријска дистрибуција моделира број независних и идентичних Бернулијевих покушаја потребних за постизање једног успеха.
• Ако ${\textstyle Y\sim \mathrm {Bernoulli} \left({\frac {1}{2}}\right)}$, онда ${\textstyle 2Y-1}$ има Радемахерову дистрибуцију .

Види још

• Бернулијев процес, случајни процес који се састоји од низа независних Бернулијевих испитивања
• Бернулијево узорковање
• Бинарна ентропијска функција
• Бинарни дијаграм одлучивања

Додатна литература

• Johnson, N. L.; Kotz, S.; Kemp, A. (1993). Univariate Discrete Distributions (2nd изд.). Wiley. ISBN 0-471-54897-9.
• Peatman, John G. (1963). Introduction to Applied Statistics. New York: Harper & Row. стр. 162–171.