Бернулијеви бројеви

Бернулијеви бројеви ${\displaystyle B_{k}}$ представљају низ рационалних бројева, које је открио Јакоб Бернули, а везани су за суму:

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}={1 \over {m+1}}\sum _{k=0}^{m}{m+1 \choose {k}}B_{k}\;n^{m+1-k}}$

Неколико првих Бернулијевих бројева дано је табелом:

n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Bn	1	${\displaystyle <\pi }"> | x | < π {\displaystyle |x|<\pi }$ Рекурзивна формула ${\displaystyle \displaystyle {B_{0}=1\;,}}$ ${\displaystyle B_{n}={\frac {-1}{n+1}}\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose {k+1}}B_{n-k},\quad n\in \mathbb {N} .}$ Својства Ојлер-Маклоренова формула, која се користи за асимптотска рачунања интеграла приказана је помоћу Бернулијевих бројева: ${\displaystyle \sum \limits _{a\leq k<b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx\ +\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R(f,m).}$ Бернулијеви бројеви користе се и приликом развоја следећих функција: ${\displaystyle x\;\operatorname {ctg} x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}B_{2n}{\frac {2^{2n}}{(2n)!}}x^{2n},|x|<\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {tg} x=\sum _{n=1}^{\infty }|B_{2n}|{\frac {2^{2n}(2^{2n1)}{(2n)!}}x^{2n-1},|x|<\pi /2}$. Леонард Ојлер је нашао везу између Бернулијевих бројева и Риманове зета-функције ζ(s) за парне s = 2k: ${\displaystyle B_{2k}=2(-1)^{k+1}{\frac {\zeta (2k)\;(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}.}$ Одатле следи: ${\displaystyle \displaystyle {B_{n}=-n\zeta (1-n)}\;\;}$ за све n. Осим тога Бернулијеви бројеви повезани су и са следећим интегралом: ${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}}={\frac {1}{4n}}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots .}$ Литература Бернулијеви бројеви