Биномна теорема

Биномна теорема је теорема елементарне алгебре и описује коефицијенте степена бинома када је он представљен у развијеној форми. По овој теореми, могуће је представити израз ( + ) сумом сабирака облика , где су коефицијенти позитивни цели бројеви, при чему је збир експонената и једнак за сваки сабирак. На пример:

${\displaystyle (x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.}$

Биномни коефицијенти се појављују као елементи Паскаловог троугла.

Коефицијенти који се појављују у биномном развоју називају се биномни коефицијенти. Они су идентични бројевима који се појављују у Паскаловом троуглу. Ови бројеви се могу израчунати једноставном формулом која користи факторијел.

Исти ови коефицијенти се јављају у комбинаторици, где је израз ⁻ једнак броју различитих комбинација елемената који се бирају из скупа од чланова.^[1]

Формуле

Коефицијент који стоји уз ⁻ дат је формулом:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}}$

која је дефинисана уз помоћ функције факторијела !. Ова формула се може написати и на следећи начин:

${\displaystyle {n \choose k}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}}$

где су фактори и у имениоцу и у бројиоцу разломка. Иако се у овој формули користи разломак, биномни коефицијенти су цели бројеви.

Исказ теореме

Сваки степен израза  +  могуће је представити у форми:

${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{n}&={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+{n \choose 3}x^{n-3}y^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ означава одговарајући биномни коефицијент. Други начин записивања ове формуле је:

${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}$