Teorija polja klasa

U matematici, teorija polja klasa je grana algebarske teorije brojeva koja se bavi abelovskim proširenjma polja brojeva,^[1] globalnim poljima pozitivnih karakteristika, i lokalnim poljima.^[2][3][4] Teorija vodi svoje poreklo iz Gausovog dokaza kvadratnog reciprociteta sa kraja 18. veka. Ove ideje su razvijene tokom sledećeg veka, iz čega su proizašle Hilbertove hipoteze, koje su kasnije dokazali Takagi i Artin. Te hipoteze i njihovi dokazi sačinjavaju glavninu teorije polja klasa.^[5]

Jedan od glavnih rezultata navodi da za dato poje brojeva , i za maksimalnu abelovsku nerazranatu ekstenziju od obeleženu sa , grupa Galoa od nad je kanonski izomorfna do idealne grupe klase od . Ova tvrdnja se može generalizovati do Artinovog zakona reciprociteta; pišući za idelnu grupu klasa od , i uzimajući da je konačna abelovska ekstenzija od , ovaj zakon daje kanonski izomorfizam

${\displaystyle \theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/F),}$

gde ${\displaystyle N_{L/F}}$ označava idelnu normu mape od do . Ovaj izomorfizam se onda naziva mapa reciprociteta. Teorema postojanja navodi da se mapa reciprociteta može koristiti za dobijanje bijekcije između skupa abelovskih ekstenzija od i skupa zatvorenih podgrupa konačnog indeksa od ${\displaystyle C_{F}.}$

A standard method za razvijanje global teorije poja klasa od 1930-ih je bio razvoj lokalne teorije polja klasa, koja opisuje abelovske ekstenzje lokalnih polja,^[6][7] i zatim ih koristi za konstruisanje globalne teorije poja klasa. To su prvi put uradili Artin i Tejt koristeći teoriju kohomologije grupa, i specifično razvijajući pojam formiranja klasa. Kasnije je Neukirh izveo dokaz glavnih tvrdnji globalne teorije pola klasa bez korišćenja kohomoloških ideja.

Teorija polja klasa isto tako obuhvata eksplicitno konstruisanje maksimalnih abelovskih ekstenzija brojnih polja u nekoliko slučajeva gde su takve konstrukcije poznate. Trenutno, ova porcija teorije se sastoji od teoreme Kroneker-Vebera, koja se može koristiti za konstrukciju abelovskih ekstenzija ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ i teoriju kompleksnog množenja, koja se može koristiti za konstruisanje abelovskih ekstenzija CM-polja.

Program Lenglendsa priža jedan pristup za generalizovanje teorije poja klasa na neabelovske ekstenzije. Ova generalizacija je još uvek uglavnom hipotetička. Za polje brojeva, teorija polja klasa i srodni rezultati teoreme modularnosti su jedini poznati slučajevi.

Formulacija u savremenom jeziku

U savremenom matematičkom jeziku se teorija poja može formulisati na sledeći način. Razmatra se maksimalno abelovsko proširenje lokalnog ili globalnog polja . Ono je beskonačnog stepena nad ; grupa Galoa od nad je beskonačno prokonačna grupa, tako da je kompaktna topološka grupa, i ona je abelovska. Centralni ciljevi teorije polja klasa su: da opiše u smislu određenih odgovarajućih topoloških objekata povezanih sa , da opiše konačna abelovska proširenja u smislu otvorenih podskupova konačnog indeksa u topološkom objektu pridruženom . Konkretno, namera je da se uspostavi međusobna korespondencija između konačnih abelovskih proširenja i njihovih normnih grupa u tom topološkom objektu za . Taj topološki objekt je multiplikativna grupa u slučaju lokalnih polja sa konačnim poljem ostatka i idealna grupa klasa u slučaju globalnih polja. Konačna abelovska ekstenzija koja odgovara otvorenoj podgrupi konačnog indeksa naziva se polje klasa za tu podgrupu, iz čega je proistekao naziv teorije.

Fundamentalni rezultat generalne teorije polja klasa navodi da je grupa prirodno izomorfna sa prokonačnim kompletiranjem , multiplikativnom grupom lokalnog polja ili grupom idealne klase globalnog polja, u pogledu prirodne topologije koja se odnosi na specifičnu strukturu polja . Ekvivalentno, za bilo koju konačnu ekstenziju Galoa od , postoji izomorfizam (Artinova mapa reciprociteta^[8]).

${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)^{\operatorname {ab} }\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}$

abelianizacije grupe Galoa ekstenzije sa količnikom idealne grupe klasa prema slici norme idealne grupe klasa .