Гама-функција

У математици, гама функција (означена са Γ, велико слово грчког слова гама) је најчешће проширење функције факторијела на комплексне бројеве. Извео ју је Данијел Бернули, гама функција ${\displaystyle \Gamma (z)}$ дефинисана је за све комплексне бројеве ${\displaystyle z}$ осим ненегативних целих бројева, а ${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}$ за сваки позитиван цео број ${\displaystyle n}$. Гама функција се може дефинисати помоћу конвергентног неправог интеграла за комплексне бројеве са позитивним реалним делом:

$${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}{\text{ d}}t,\ \qquad \Re (z)>0\,.}$$Затим је гама функција дефинисана у комплексној равни као аналитичко настављање ове интегралне функције: то је мероморфна функција која је хоморфна свуда осим у нули и негативним целим бројевима, где има просте полове.

Гама функција нема нуле, па је реципрочна гама функција 1/Γ(z) цела функција. Заправо, гама функција одговара Мелиновој трансформацији негативне експоненцијалне функције:

$${\displaystyle \Gamma (z)={\mathcal {M}}\{e^{-x}\}(z)\,.}$$

Постоје друга проширења функције факторијела, али је гама функција најпопуларнија и најупечатљивија. Појављује се као фактор у различитим функцијама расподеле вероватноће и другим формулама у областима вероватноће, статистике, аналитичке теорије бројева и комбинаторике.

Мотивација

${\displaystyle \Gamma (x+1)}$ интерполира функцију факторијела на нецеле вредности.

Гама функција се може посматрати као решење интерполационог проблема проналажења глатке криве ${\displaystyle y=f(x)}$ која повезује тачке низа факторијела: ${\displaystyle (x,y)=(n,n!)}$ за све позитивне целе вредности ${\displaystyle n}$. Једноставна формула за факторијел, x! = 1 × 2 × ⋯ × x важи само када је x позитиван цео број, и ниједна елементарна функција нема ово својство, али је добро решење гама функција ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x+1)}$.

Гама функција није само глатка већ и аналитичка (осим у ненегативним целим бројевима), и може се дефинисати на више експлицитних начина. Међутим, није једина аналитичка функција која проширује факторијел, јер се може додати било која аналитичка функција која је нула на позитивним целими бројевима, као што је ${\displaystyle k\sin(m\pi x)}$ за цео број ${\displaystyle m}$. Таква функција је позната као псеудогама функција, а најпознатија је Хадамардова функција.^[1]

Гама функција, Γ(z) плава, приказана заједно са Γ(z) + sin(πz) зелена. Обратите пажњу на пресек на позитивним целим бројевима. Обе су валидна проширења факторијела на мероморфну функцију у комплексној равни.

Рестриктивнији услов је функционална једначина која интерполира померити факторијел ${\displaystyle f(n)=(n{-}1)!}$ :^[2][3] $${\displaystyle f(x+1)=xf(x)\ {\text{ за све }}x>0,\qquad f(1)=1.}$$

Али ово још увек не даје јединствено решење, јер дозвољава множење са било којом периодичном функцијом ${\displaystyle g(x)}$ са ${\displaystyle g(x)=g(x+1)}$ и ${\displaystyle g(0)=1}$, као што је ${\displaystyle g(x)=e^{k\sin(m\pi x)}}$.

Један начин да се реши двосмисленост је Бор-Молирупова теорема, која показује да је ${\displaystyle f(x)=\Gamma (x)}$ јединствена интерполирајућа функција за факторијел, дефинисана преко позитивних реалних бројева, која је логаритамски конвексна,^[4] што значи да је ${\displaystyle y=\log f(x)}$ конвексна.^[5]