Kalmanov filter

Za statistiku i teoriju upravljanja, Kalmanovo filtriranje, takođe poznato kao linearna kvadratna procena (LQE), je algoritam koji koristi niz merenja posmatranih tokom vremena, uključujući statističku buku i druge netačnosti, i proizvodi procene nepoznatih varijabli koje imaju tendenciju da budu tačnije od onih zasnovanih samo na jednom merenju, procenom zajedničke distribucije verovatnoće preko varijabli za svaki vremenski okvir. Filter je dobio ime po Rudolfu E. Kalmanu, koji je bio jedan od glavnih kreatora njegove teorije.

Kalmanov filter^[1] prati procenjeno stanje sistema i varijansu ili neizvesnost procene. Procena se ažurira korišćenjem modela prelaza stanja i merenja. ${\displaystyle {\hat {x}}_{k\mid k-1}}$ označava procenu stanja sistema u vremenskom koraku k pre nego što je k-to merenje y_k uzeto u obzir; ${\displaystyle P_{k\mid k-1}}$ je korespondirajuća nesigurnost.

Ovaj digitalni filter se ponekad naziva Stratonovič–Kalman–Bjusijev filter, jer je to poseban slučaj opštijeg, nelinearnog filtra koji je nešto ranije razvio sovjetski matematičar Ruslan Stratonovič.^[2][3][4][5] Zapravo, neke od jednačina linearnog filtra za posebne slučajeve pojavile su se u Stratonovičevim radovima koji su objavljeni pre leta 1961. godine, kada se Kalman sastao sa Stratonovičem tokom konferencije u Moskvi.^[6]

Kalmanovo filtriranje^[7] ima brojne tehnološke primene. Uobičajena primena je za navođenje, navigaciju i kontrolu vozila, posebno letelica, svemirskih letelica i brodova koji su dinamički pozicionirani.^[8] Štaviše, Kalmanovo filtriranje je koncept koji se u znatnoj meri primenjuje u analizi vremenskih serija koje se koriste za namene kao što su obrada signala i ekonometrija. Kalmanovo filtriranje je takođe jedna od glavnih tema robotskog planiranja i kontrole kretanja^[9][10] i može se koristiti za optimizaciju putanje.^[11] Kalmanovo filtriranje takođe nalazi primenu u modelovanju kontrole kretanja centralnog nervnog sistema. Zbog vremenskog kašnjenja između izdavanja motornih komandi i primanja senzorne povratne informacije, upotreba Kalmanovih filtera^[12] pruža realan model za procenu trenutnog stanja motornog sistema i izdavanje ažuriranih komandi.^[13]

Algoritam radi po dvostupnom procesu koji ima fazu predviđanja i fazu ažuriranja. Za fazu predviđanja, Kalmanov filter proizvodi procene varijabli trenutnog stanja, zajedno sa njihovim neizvesnostima. Nakon što se posmatra rezultat sledećeg merenja (nužno oštećen sa nekom greškom, uključujući slučajni šum), ove procene se ažuriraju korišćenjem ponderisanog proseka, pri čemu se veća težina daje procenama sa većom sigurnošću. Algoritam je rekurzivan. On može da radi u realnom vremenu, koristeći samo trenutna ulazna merenja i prethodno izračunato stanje, i njegovu matricu nesigurnosti; nisu potrebne dodatne informacije iz prošlosti.

Optimalnost Kalmanovog filtriranja pretpostavlja da greške imaju normalnu (Gausovu) raspodelu. Rečima Rudolfa E. Kalmana: „Sledeće pretpostavke su napravljene o slučajnim procesima: Fizičke slučajne pojave se mogu smatrati posledicama primarnih slučajnih izvora pobuđenih dinamičkih sistema. Pretpostavlja se da su primarni izvori nezavisni Gausovi slučajni procesi sa nultom sredinom; dinamički sistemi će biti linearni.”^[14] Bez obzira na Gausovstvo, međutim, ako su kovarijanse procesa i merenja poznate, onda je Kalmanov filter najbolji mogući linearni procenjivač u smislu minimalne srednje kvadratne greške,^[15] iako možda postoje bolji nelinearni procenitelji. Uobičajeno je pogrešno shvatanje (održano u literaturi) da se Kalmanov filter ne može rigorozno primeniti osim ako se pretpostavi da su svi procesi buke Gausovi.^[16]

Takođe su razvijena proširenja i generalizacije metode, kao što su prošireni Kalmanov filter i bezmirisni Kalmanov filter koji rade na nelinearnim sistemima. Osnova je skriveni Markovljev model takav da je prostor stanja latentnih varijabli kontinuiran i da sve latentne i posmatrane varijable imaju Gausovu distribuciju. Kalmanovo filtriranje je uspešno korišćeno u fuziji više senzora,^[17] i distribuiranim senzorskim mrežama za razvoj distribuiranog ili konsenzusnog Kalmanovog filtriranja.^[18]