Аксиоме вероватноће

From Wikipedia, the free encyclopedia

Remove ads

Функција вероватноће P се дефинише на подскупу простора узорка S чији су елементи случајни догађаји E, тако да задовољава следеће аксиоме:

  1. ненегативност: P(E) 0;
  2. узајамна искључивост: P(E1 E1) = P(E1) + P(E2), када је E1 E1 празан скуп;
  3. потпуност: P(S) = 1.

То су аксиоме вероватноће руског математичара Колмогорова.

Непосредне последице

Комплементарни догађај

За сваки случајни догађај E S дефинисан је супротан (комплементан) случајни догађај који се означава са цртицом поред (прим) или цртом изнад слова. Догађај E ће се десити ако и само ако се догађај E неће десити. Тада је P(E) = 1 - P(E).

Наиме, ако су E и E узајамно искључиви, тј. E E је празан скуп, биће P(S) = P(E E) = P(E) + P(E). Затим, из аксиома (2) и (3) следи P(E) + P(E) = 1, тј. P(E) = 1 - P(E).

Немогућ догађај (празан скуп)

Празан скуп је немогућ догађај, односно P() = 0.

Наиме, S = S . Скупови S и су и узајамно искључиви па је P(S) = P(S ) = P(S) + P(). Затим из аксиома (2) и (3) следи P() = 0, што је и требало доказати.

Монотоност (потскуп)

Ако су E1 и E2 потскупови од S такви да је E1 E2, тада је P(E1) P(E1).

Наиме, из теорије скупова знамо да је E2 = E1 (E1 E2) и да су E1 и E1 E2 узајамно искључиви.

Зато и према аксиоми (2) имамо P(E2) = P(E1) + P(E1 E2) P(E1), јер према аксиоми (1) имамо P(E1 E2) 0.

Границе вероватноће (опсег)

За сваки случајни догађај E опсег вероватноћа је 0 P(E) 1.

Наиме, из E S и вероватноће потскупа следи P() P(E) P(S), те 0 P(E) 1.

Правило сабирања

За произвољне потскупове E1, E2 S важи једнакост P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2).

Наиме, из E1 E2 = E1 (E2 E1) и зато што су догађаји E1 и E2 E1 узајамно искључиви имамо P(E1 E2) = P(E1) + P(E2 E1).

Поред тога, други догађај разлажемо на два узајамно искључива догађаја E2 = (E2 E1) (E2 E1) тако да је P(E2) = P(E2 E1) + P(E2 E1)

Из последње P(E2 E1) = P(E2) - P(E2 E1) и претпоследње једнакости следи P(E1 E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 E2), што је и требало доказати.

Remove ads

Алгебарски изрази

Вјероватноће догађаја су реални бројеви из интервала [0, 1]. У алгебри у вези са таквима постоје бројне корисне нетривијалне формуле. Следе примери неких, са алгебарским доказима, који би могли бити инспирација за налажење сличних израза потребних у различитим применама теорије вероватноће.

Пример 1.

Нека су p0, p1 и p2 позитивни бројеви чији је збир један. Ако квадратна једначина p2x2 + p1x + p0 = x има корјен x0 (0, 1), онда је p1 + 2p2 > 1 и обрнуто: ако је p1 + 2p2 > 1 онда дата квадратна једначина има корјен x0 (0, 1).

Доказ: Пишемо дату једначину у еквивалентним облицима редом:

,
,
,
,
,
.

Ако је x0 решење ове једначине, онда је x0 p0/p2. Како је то број од нула до један искључујући границе, биће p0 < p2, па је 1 = p0 + p1 + p2 < p2 + p1 + p2 = p1 + 2p2, тј. p1 + 2p2 > 1. Затим се лако доказује и обрнуто тврђење.

Алгебарске једнакости

Пример 1. Наћи природне бројеве n1 < n2 < n3 < n4 < n5 веће од два такве да важи једнакост:

.

Решење: Ако је n1 > 3, тада лева страна једнакости није већа од

.

Према томе мора бити n1 = 3. Тада је

.

Слично, ако је n2 > 4, тада лева страна последње једнакости није већа од

.

Дакле, мора бити n2 = 4. Настављајући на сличан начин, добијамо јединствено решење n1 = 3, n2 = 4, n3 = 5, n4 = 6, n5 = 20, тј.

.♦

Пример 2. Дато је k (k > 1) различитих природних бројева n1, n2, ..., nk. Доказати да једнакост

није тачна нити за једно k > 1.

Доказ: Претпоставимо супротно, да је

,

где је n1 < n2 < ... < nk. Тада мора бити n1 2. Иначе, за n1 = 1 било би 1/n1 = 1 па би збир на десној страни био већи од један. Због претпоставке о поретку бројева имамо

,

што је немогуће.

Алгебарске неједнакости

Пример 1. Ако је x + y + z = 1 тада је x2 + y2 + z2 ⅓.

Доказ: Из (x - y)2 0 следи x2 + y2 2xy. Сабирањем сличних добијамо неједнакост 2(x2 + y2 + z2) 2(xy + yz + zx). Ако левој и десној страни ове неједнакости додамо израз x2 + y2 + z2 добијамо 3(x2 + y2 + z2) x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx = (x + y + z)3 = 1, односно x2 + y2 + z2 1/3.♦

Пример 2. Ако су x1, x2, ..., xn из интервала [0, 1] онда је

.

Доказ: Означимо x1 + x2 + ... + xn = y. Како из идентитета (y - 1)2 0 следи идентитет (y + 1) 4y, то сада имамо

.

Даље је xk xk2, јер су x-ови (позитивни и) мањи од један, па важи и неједнакост

.

Из ове и претходне неједнакости следи тражена.

Пример 3. Ако је

тада је

Доказ: Из очигледних неједнакости 2|x||y| x2 + y2 примјењених редом на елементе датих низова a и b, након сабирања добијамо

,

односно

.

Користимо чињеницу да је |x||y| = |xy| и |x1 + x2 + ... + xn| |x1| + |x2| + ... + |xn| (доказати индукцијом). Даље је -1 a1b1 + a2b2 + ... + anbn 1, што је и требало доказати.♦

Remove ads
Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads