Višestruki integral

Višestruki intgral je vrsta određenog integrala za funkcije sa više od jedne realne varijable, na primer ${\displaystyle f(x,y)}$ ili ${\displaystyle f(x,y,z)}$.^[1]

Integral kao površina između dve krive.

Dvostruki integral kao zapremina ispod površine. Pravougli region na dnu tela je domen integracije, dok je površina grafik funkcije sa dve promenljive koja se integriše.

Uvod

Baš kao što određeni integral pozitivne funkcije sa jednom varijablom predstavlja površinu u području između grafa funkcije i x-ose, dvostruki integral pozitivne funkcije dve varijable predstavlja zapreminu u području između površine definisane funkcije i ravni koja sadrži njihove domene. (Treba imati na umu da se ista zapremina može dobiti preko trostrukog integrala - integral funkcije u tri varijable - konstantne funkcije od (x, y, ) = 1 preko spomenutog područja između površine i ravni.) Ako postoji više varijabli, višestruki integral će dati hyper-zapreminu i višedimenzionalnu funkciju.

Višestruka integracija funkcija u ${\displaystyle \;n}$ varijablama: ${\displaystyle \;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ preko domena ${\displaystyle \;D}$ najčešće predstavlja postavljanje integralnih znakova u obrnutom redosledu rešavanja (krajnji levi integralni znak se izračunava zadnji) nastavljajući po funkciji i integrand argumentimaa u pravilnom redosledu (krajnji desni argument se izračunava zadnji). Domen integracije ili je zastupljena simbolično za svaki integrand preko svakog integralnog znaka, ili je često skraćen od strane varijable na krajnjem desnom integralnom znaku:

${\displaystyle \iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}}$

Budući da je nemoguće izračunati antiderivative od funkcija sa više od jedne varijable, neodređeni višestruki integrali ne postoje. Zbog toga su svi višestruki integrali određeni integrali.

Primeri

Na primer, zapremina paralelopipeda stranica 4×6×5 može se izračunati na dva načina:

• Dvostrukim integralom

${\displaystyle \iint _{D}5\ dx\,dy\ \ [x=4,y=6\ \ \ \ z=5]}$

funkcije = 5 izračunata u oblasti u xy-ravni koja predstavlja bazu paralelopipeda.

• Trostrukim integralom

${\displaystyle \iiint _{\mathrm {paralelopiped} }1\,dx\,dy\,dz}$

konstantne funkcije 1 izračunate na paralelopipedu.

Matematička definicija

Neka je ceo broj veći od 1. Uzmimo takozvani poluotvoreni -dimenzionalni pravougaonik (nazovimo ga jednostavno pravougaonik). Za ravan, = 2, i višestruki integral je samo dvostruki integral.

${\displaystyle T=[a_{1},b_{1})\times [a_{2},b_{2})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})\subset \mathbb {R} ^{n}.}$

Podelimo svaki interval ${\displaystyle [a_{i},b_{i})}$ na određeni broj nepreklapajućih podintervala, sa svakim podintervalom zatvorenom na levom kraju, i otvorenom na desnom kraju. Označimo takve podintervale sa ${\displaystyle I_{i}.}$ Zatim, porodica podpravougaonika u obliku

${\displaystyle C=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{n}}$

je particija od ${\displaystyle T,}$ što daje podpravougaonike ${\displaystyle C}$ koji su nepreklapajući i njihova unija je ${\displaystyle T.}$.

Dijametri podpravougaonika ${\displaystyle C}$ su po definiciji najveće dužine intervala čiji proizvod je ${\displaystyle C,}$ u dijametru date particije od ${\displaystyle T}$ su definisane kao najveći diametri podpravougaonika u particiji.

Neka je ${\displaystyle f:T\to \mathbb {R} }$ funkcija definisana pravougaonikom ${\displaystyle T.}$ Razmotrimo particiju

${\displaystyle T=C_{1}\cup C_{2}\cup \cdots \cup C_{m}}$

od ${\displaystyle T}$ definisanom iznad, gde je ${\displaystyle m}$ pozitivni integer. Rimanov zbir je zbir od oblika

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} (C_{k})}$

gde za svaku ${\displaystyle k}$ tačku ${\displaystyle P_{k}}$ je u ${\displaystyle C_{k},}$ i ${\displaystyle \operatorname {m} (C_{k})}$ je proizvod dužina intervala čiji Kartezijev proizvod je ${\displaystyle C_{k}.}$

Funkcija ${\displaystyle f}$ je Rimanski integrabilna ako je granica

${\displaystyle S=\lim _{\delta \to 0}\sum _{k=1}^{m}f(P_{k})\,\operatorname {m} \,(C_{k})}$

postoji, gde je granica preuzela sve particije od ${\displaystyle T}$ od diametra najviše ${\displaystyle \delta .}$ Ako je ${\displaystyle f}$ Rimanski integrabilna, ${\displaystyle S}$ se zove Rimanskim integralom od ${\displaystyle f}$ nad ${\displaystyle T,}$ i označava se

${\displaystyle \int _{T}\!f(x)\,dx.}$

Rimanski integral funkcije definisane nad proizvoljno omeđenom ${\displaystyle n}$-dimenzionalnom postavkom se može definisati proširivanjem te funkcije na funkciju definisanu preko poluotvorenog pravoganika čije vrednosti su nula izvan domena izvorne funkcije. Zatim, integral izvorne funkcije preko izvornog domena definiše se kao integral proširene funkcije nad njegovim pravougaonim domenom, ako postoji. Ono što sledi Riemannov integral u dimenzijama će se zvati višestruki integral.

Osobine

Višestruki integrali imaju mnoge iste osobine integrala funkcija sa jednom varijablom (linearnost, aditivnost, monotoničnost, itd). Čak šta više, baš kao što je sa jednom promenljivom, može se koristiti višestruki integral da se pronađe prosek funkcije u datoj postavci. Još preciznije, za datu postavku ${\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{n}}$ i integrabilnu funkciju ${\displaystyle f}$ nad ${\displaystyle D}$, prosečna vrednost od ${\displaystyle f}$ nad njenim domenom je data sa

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{m(D)}}\int _{D}f(x)\,dx,}$

gde je ${\displaystyle \;m(D)}$ mera od ${\displaystyle \;D}$.

Posebni slučajevi

U slučaju ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{2},}$ integral

${\displaystyle \ell =\iint _{T}f(x,y)\,dx\,dy}$

je dvostruki integral od F na T, i ako ${\displaystyle T\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ integral

${\displaystyle \ell =\iiint _{T}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz}$

je trostruki integral od na .

Onda, prema uobičajenom načinu obeležavanja u matematici, dvostruki integral ima dva integralna znaka, a trostruki integral ima tri, a to je samo zbog praktičnosti u označavanju, a zgodno je prilikom računanja višestrukih integrala kao ponovljenog integrala (kao što je prikazano u nastavku članka).