Парцијална диференцијална једначина

From Wikipedia, the free encyclopedia

Парцијална диференцијална једначина
Remove ads

Парцијална диференцијална једначина је диференцијална једначина која садржи претходно непознате функције са више променљивих и њихове парцијалне изводе. Користе се за формулисање проблема који укључују функције више променљивих, а решавају се ручно или се користе за креирање компјутерских модела. Посебан случај су обичне диференцијалне једначине које се баве функцијама једне променљиве и њиховим изводима.

Thumb
Визуализација решења дводимензионалне једначине топлоте са температуром која је представљена трећом димензијом

Парцијалне диференцијалне једначине могу се користити за опис широког спектра феномена као што су звук, дифузија, топлота, електростатика, електродинамика, динамика флуида, еластичност или квантна механика. Баш као што обичне диференцијалне једначине често моделирају једнодимензионалне динамичке системе, парцијалне диференцијалне једначине често моделирају вишедимензионалне системе. Парцијалне диференцијалне једначине проналазе своју генерализацију у стохастичким парцијалним диференцијалним једначинама.

  • Линеарна хомогена парцијална једначина је облика:
.
  • Квазилинеарна парцијална једначина је облика:
.
Remove ads

Увод

Парцијалне диференцијалне једначине () су једначине које садрже стопе промене у односу на континуиране променљиве. На пример, позиција чврстог тела је одређена са шест параметара,[1] док је конфигурација флуида дата путем континуиране дистрибуције неколико параметара, као што су температура, притисак, и тако даље. Док се динамика крутог тела одвија у коначно димензионалном конфигурационом простору, динамика течности се јавља у бесконачно димензионалном конфигурационом простору. Ова разлика чини знатно теже решивим од обичних диференцијалних једначина, али овде опет постоје једноставна решења за линеарне проблеме. Класични домени примене обухватају акустику, динамику флуида, електродинамику, и топлотни трансфер.

Парцијална диференцијална једначина за функцију u(x1,… xn) је једначина облика

Ако је f линеарна функција u и њених деривата, онда се PDE назива линеарном. Уобичајени примери линеарних обухватају топлотну једначину, таласну једначину, Лапласову једначину, Хелмхолцову једначину, Клејн-Гордонову једначину и Поисонову једначину.

Једна релативно једноставна је

Ова релација подразумева да је функција u(x,y) независна од x. Међутим, ова једначина не даје информације о зависности функције од променљиве y. Стога је опште решење ове једначине

где је f произвољна функција од y. Аналогна обична диференцијална једначина је

која има решење

где је c било која константна вредност. Ова два примера илуструју да општа решења обичних диференцијалних једначина обухватају произвољне константе, док решења парцијалних диференцијалних једначина обухватају произвољне функције. Решење генерално није јединствено; додатни услови морају генерално да буду специфицирани на границама регије где је решење дефинисано. На пример, у горњем једноставном примеру, функција f(y) може да буде одређена ако је u специфицирано на линији x = 0.

Remove ads

Постојање и јединственост

Док питање постојања и јединствености решења обичних диференцијалних једначина има веома задовољавајуће показатеље уз примену Пикарове теореме,[2] то није тако у случају парцијалних диференцијалних једначина. Теорема Коши—Ковалевског[3][4] наводи да Кошијев проблем за било коју парцијалну диференцијалну једначину чији су коефицијенти аналитички у непознатој функцији и њеним дериватима, има локално јединствено аналитичко решење. Иако се може стећи утисак да овај резултат решава постојање и јединственост решења, постоје примери линеарних парцијалних диференцијалних једначина чији коефицијенти имају изводе свих редова (који ипак нису аналитички) али који немају решења за све једначине.[5] Чак и ако решења парцијалних диференцијалних једначина постоје и јединствена су, она упркос тога могу да имају нежељена својства. Математичка студија ових питања је обично у моћнијем контексту слабих решења.

Један приме патолошког понашања је секвенца (у зависности од n) Кошијевих проблема за Лапласову једначину

са граничним условима

где је n цео број. Извод u у односу на y униформно прилази нули у x са повећањем n, али је решење

Ово решење се приближава бесконачности ако nx није целобројни умножак π за било коју не-нулту вредност y. Кошијев проблем за Лапласову једначину се назива лоше постављеним, јер решење континуирано не зависи од података проблема. Такви лоше постављени проблеми обично нису задовољавајући за физичке примене.

Remove ads

Нотација

У парцијалним диференцијалним једначинама је уобичајено да се парцијални деривати означе користећи индексе.

У физици се, del или набла () често користе за означавање просторних извода, а u̇, ü за временске изводе. На пример, таласна једначина (доле описана) се може написати као

или

где је Δ Лапласов оператор.

Remove ads

Види још

Референце

Литература

Спољашње везе

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads