Кватернион

Кватернион представља збир скалара и вектора и као такав објекат није ни вектор ни скалар. Појам кватерниона увео је Хамилтон. Пример кватериона се може наћи при проучавању ротације тела око непомичне осе. Када се два скалара, рецимо и поделе, добија се опет скалар што се може написати као . По аналогији количник два вектора и који у општем случају нису колинеарни је нека величина која се означава као при чему као таква треба да задовољава једнакост . Производ геометријски представља деформацију (с обзиром да вектори нису у општем случају колинеарни) и обртање вектора за угао до поклапања са . Како би се дефинисало дељење два вектора, мора се претходно дефинисати величина . Ову величину је Хамилтон приказао у облику збира скалара и вектора . Величину пошто је одређена са четири броја назвао је кватернион. Кватернион није могуће представити геометријски с обзиром да је за тако нешто потребно имати четири осе, једну за скалар и три за вектор.

Особине

${\displaystyle q::=a+bi+cj+dk\!}$ где су ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$

а ${\displaystyle i\!}$, ${\displaystyle j\!}$ и ${\displaystyle k\!}$ испуњавају следеће услове:

${\displaystyle m*n\!}$	${\displaystyle i\!}$	${\displaystyle j\!}$	${\displaystyle k\!}$
${\displaystyle i\!}$	${\displaystyle -1\!}$	${\displaystyle k\!}$	${\displaystyle -j\!}$
${\displaystyle j\!}$	${\displaystyle -k\!}$	${\displaystyle -1\!}$	${\displaystyle i\!}$
${\displaystyle k\!}$	${\displaystyle j\!}$	${\displaystyle -i\!}$	${\displaystyle -1\!}$

Матрични облик

Ако су елементи матрице комплексни бројеви онда је она димензије 2 * 2

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}}$

За реалну матрицу:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\;\;a&b&\;\;c&d\\\;\;-b&\;\;a&-d&c\\\;\;-c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;-d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}}$

Где су ${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {R} }$.