Правоугаоник

Правоугаоник је четвороугаона геометријска фигура у равни. Спада у класу паралелограма, а следећа два правила важе за сваки правоугаоник: наспрамне странице су по дужини једнаке и паралелне, и суседне странице су нормалне једна на другу (заклапају угао од 90°). Тачан изглед једног правоугаоника је одређен његовом ширином (означено са на слици десно) и његовом дужином (означено са на слици десно). Специјалан случај правоугаоника коме су све странице једнаке се назива квадрат.^[1][2][3]

Правоугаоник
Правоугаоник
Тип	четвороугао, трапез, паралелограм, ортотоп
Ивице и темена	4
Симбол Шлефли	{ } × { }
Дијаграм Кокстера
Симетрична група	Диедрална (D2), [2], (*22), order 4
Двоструки многоугао	ромб
Својства	конвексан, изогоналан, цикличан Супротни углови и странице су подударни

Правоугаоник. Странице су му и , дијагонала је означена са , а темена су му , , и

Реч правоугаоник потиче од латинског rectangulus, што је комбинација rectus (као придев, усправан, прав) и angulus (угао).

Укрштени правоугаоник је самопресецајући четвороугао који се састоји од две супротне странице правоугаоника заједно са две дијагонале^[4] (дакле, само две странице су паралелне). То је посебан случај антипаралелограма, а његови углови нису прави углови и нису сви једнаки, иако су супротни углови једнаки. Друге геометрије, као што су сферна, елиптична и хиперболичка, имају такозване правоугаонике са супротним страницама једнаке дужине и једнаким угловима који нису прави углови.

Карактеризације

Конвексни четвороугао је правоугаоник ако и само ако важи једно од следећег:^[5][6]

• паралелограм са најмање једним правим углом
• паралелограм са дијагоналама једнаке дужине
• паралелограм ABCD где су троуглови ABD и DCA подударни^[7]
• једнакоугаони четвороугао
• четвороугао са четири права угла
• четвороугао где су две дијагонале једнаке по дужини и деле једна другу на пола^[8]
• конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)}$.^[9]‍:fn.1
• конвексан четвороугао са узастопним страницама a, b, c, d чија је површина ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}.}$^[9]

Формуле

• Површина правоугаоника је
• Обим правоугаоника је
• Полуобим правоугаоника је
• Углови између страница и дијагонала: и ; φ₁ + φ₂ = π/2.
• Углови између дијагонала Θ₁ = π - 2φ₁ и Θ₂ = π - 2φ₂; Θ₁ + Θ₂ = π
• r (полупречник описане кружнице) : r = ${\displaystyle {\frac {d}{2}}}$

Дијагонала правоугаоника

Дијагонала правоугаоника је дуж која спаја два његова темена која немају ни једну заједничку страницу. Правоугаоник има тачно две дијагонале, и оне су једнаких дужина:

${\displaystyle d={\sqrt {(a^{2}+b^{2})}}}$

Конструкције правоугаоника

Две странице

Дате су дужине страница и . Једно решење:

1. Конструисати дуж дужине .
2. У тачки , нормално на , конструисати дуж дужине .
3. Повући дуж .
4. Симетрала тачке у односу на средиште ће бити .

Уместо корака 3 и 4 може се конструисати дуж , дужине и нормална на , тако да угао буде математички негативно оријентисан.

Страница и угао између ње и дијагонале

Претпоставимо да су дати страница и угао α.

1. Конструисати дуж
2. Из тачке конструисати полуправу која са заклапа угао α, тако да је угао позитивно оријентисан.
3. Из тачке конструисати нормалу на .
4. Пресек и обележити као .
5. У конструисати полуправу нормалну на , тако да је угао позитивно оријентисан
6. У конструисати круг полупречника .
7. Пресек и је .

Уколико су дати страница и угао β између друге странице ње и дијагонале, угао α је једнак 90° - β.

Страница и дијагонала

Ако су дате странца, на пример , и дужина дијагонале правоугаоника , конструкција има следећи ток:

1. Конструисати дуж дужине и назвати јој темена и .
2. Конструисати круг који за пречник има дуж .
3. У тачки конструисати круг полупречника .
4. Круг ће сећи у две тачке. Једна од ове две треба да добије име тако да је угао негативно математички оријентисан
5. Од треба повући полуправу кроз средиште . Пресек ове полуправе са кругом ће бити тачка .

Остали правоугаоници

Седласти правоугаоник има 4 непланарна врха, наизменично од врхова квадра, са јединственом минималном унутрашњошћу површине дефинисаном као линеарна комбинација четири темена, стварајући површину седла. Овај пример приказује 4 плаве ивице правоугаоника и две зелене дијагонале, а све су дијагонале кубоидних правоугаоних лица.

У сферној геометрији, сферни правоугаоник је фигура чије су четири ивице велики кружни лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини. Површина сфере у еуклидској чврстој геометрији је нееуклидска површина у смислу елиптичке геометрије. Сферна геометрија је најједноставнији облик елиптичке геометрије.

У елиптичкој геометрији, елиптични правоугаоник је фигура у елиптичној равни чије су четири ивице елиптични лукови који се састају под једнаким угловима већим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

У хиперболичној геометрији, хиперболички правоугаоник је фигура у хиперболичној равни чије су четири ивице хиперболички лукови који се састају под једнаким угловима мањим од 90°. Супротни лукови су једнаки по дужини.

Теселације

Правоугаоник се користи у многим периодичним обрасцима теселације, у зидању, на пример, овим плочицама:

Наслагана веза

Текућа веза

Плетена кошара

Плетена кошара

Патерн рибље кости

Квадратни, савршени и други поплочани правоугаоници

Савршен правоугаоник реда 9

За правоугаоник поплочан квадратима, правоугаоницима или троугловима се каже да је правоугаоник „квадратни“, „правоугаони“ или „троугаони“. Поплочани правоугаоник је савршен^[10][11] ако су плочице сличне и ограниченог броја и нема две плочице исте величине. Ако су две такве плочице исте величине, плочица је несавршена. У савршеном (или несавршеном) троуглом правоугаонику троуглови морају бити правоугли. База података свих познатих савршених правоугаоника, савршених квадрата и сродних облика може се наћи на squaring.net.^[12] Најмањи број квадрата који је потребан за савршено поплочавање правоугаоника је 9,^[13] а најмањи број потребан за савршено поплочавање квадрата је 21, пронађен 1978. компјутерском претрагом.^[14]

Правоугаоник има самерљиве странице ако и само ако је поплочан коначним бројем неједнаких квадрата.^[10] Исто важи и ако су плочице неједнаки једнакокраки правоугли троуглови.

Поплочавање правоугаоника другим плочицама које су привукле највећу пажњу су оне конгруентним неправоугаоним полиомима, дозвољавајући све ротације и рефлексије. Постоје и поплочавања конгруентним полиаболима.^[15][16][17]

Јуникод

• U+25AC ▬ Црни правугаоник
• U+25AD ▭ Бели правугаоник
• U+25AE ▮ Црни вертикални правоугаоник
• U+25AF ▯ Бели вертикални правоугаоник