Вијетове формуле

У математици, односно алгебри, Вијетове формуле, које су добиле име по Франсоа Вијету, су формуле које дају везу између нула полинома, и његових коефицијената

За Вијетову формулу за рачунање броја π, видети овај чланак.

Формуле

Ако

${\displaystyle P(X)=a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}$

је полином степена ${\displaystyle n\geq 1}$ са комплексним коефицијентима (па су бројеви ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1},a_{n}}$ комплексни, и ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$), по основној теореми аритметике ${\displaystyle P(X)}$ има ${\displaystyle n}$ (не обавезно различитих) комплексних корена ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}.}$ Вијетове формуле кажу да

${\displaystyle x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}=-{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots +x_{1}x_{n})+(x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+\cdots +x_{2}x_{n})+\cdots +x_{n-1}x_{n}={\frac {a_{n-2}}{a_{n}}}}$

${\displaystyle \cdots \,}$

${\displaystyle x_{1}x_{2}\cdots x_{n}=(-1)^{n}{\frac {a_{0}}{a_{n}}}.}$

Другим речима, сума свих могућих производа ${\displaystyle k}$ нула полинома ${\displaystyle P(X)}$ је једнака ${\displaystyle (-1)^{k}a_{n-k}/a_{n},}$

${\displaystyle \sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}x_{i_{2}}\cdots x_{i_{k}}=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}}$

за свако ${\displaystyle k=1,2,\dots ,n.}$

Вијетове формуле важе општије за полиноме са коефицијентима у било ком комутативном прстену, све док тај полином степена ${\displaystyle n}$ има ${\displaystyle n}$ нула у том прстену.

Пример

За полином другог степена ${\displaystyle P(X)=aX^{2}+bX+c}$, Вијетове формуле гласе да су решења ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{2}}$ квадратна једначина ${\displaystyle P(X)=0}$ задовољавају

${\displaystyle x_{1}+x_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}={\frac {c}{a}}.}$

Прва једначина се може користити да се нађе минимум (или максимум) од .

Доказ

Вијетове формуле се могу доказати записивањем једнакости

${\displaystyle a_{n}X^{n}+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}=a_{n}(X-x_{1})(X-x_{2})\cdots (X-x_{n})}$

(што је тачно, јер ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$ су све нуле полинома), множењем кроз факторе са десне стране, и проналажењем коефицијената сваког степена ${\displaystyle X}$.

Литература

• Vinberg, E. B. (2003). A course in algebra. American Mathematical Society, Providence, R.I. ISBN 978-0-8218-3413-8.
• Đukić, Dušan, (2006). The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959-2004. Springer, New York, NY. ISBN 978-0-387-24299-6.