Elastiska linjens ekvation

Elastiska linjens differentialekvation beskriver böjtröghetsmomentet för en balk vid böjning och är en differentialekvation av andra ordningen:

${\displaystyle \mathrm {M(x)} =\mathrm {-E\,I} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}}$

Elastiska linjen för en balk under böjning

där

${\displaystyle M}$ är böjmomentet,

${\displaystyle E}$ är elasticitetsmodulen,

${\displaystyle I}$ är balktvärsnittets böjtröghetsmoment och

${\displaystyle {\frac {d^{2}w}{dx^{2}}}}$ är utböjningens andraderivata.

Produkten ${\displaystyle E\,I}$ kallas balkens böjstyvhet.

Elastiska linjen är den kurva balkens axel (geometriska orten för tvärsnittsytornas tyngdpunkter) bildar vid balkens deformation. Linjen är en plan kontinuerlig kurva som ligger i böjningsplanet (det plan där spänning/tryck-krafterna orsakade av böjningen är noll).

Tillämpningar

Elastiska linjens ekvation används för att bestämma balkars böjning respektive lutningsvinklar:

${\displaystyle w(x),\quad {\frac {dw}{dx}}}$

Elastiska linjens ekvation kan kombineras med andra ekvationer eller samband, exempelvis

${\displaystyle \mathrm {T(x)} ={\frac {d}{dx}}{\Big (}\mathrm {-EI} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}{\Big )}}$

där ${\displaystyle T}$ är tvärkraften.

${\displaystyle \mathrm {q(x)} ={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}{\Big (}\mathrm {EI} {\frac {d^{2}w(x)}{dx^{2}}}{\Big )}}$

där ${\displaystyle q}$ är belastningsintensiteten (punktbelastningen) som vid utbredd last beror av lasten per längdenhet ${\displaystyle Q/L}$. Vanligt är att ${\displaystyle q}$ kan skrivas ${\displaystyle q=-Q/L}$