Excentrisk anomali

Excentrisk anomali, betecknas: E (för en planet:) vinkel mellan perihelium och planetens position projicerad på en cirkel med samma radie och samma centrum som halva storaxeln för banellipsen mätt i banellipsens origo.

Den excentriska anomalin är relaterad till medelanomalin genom Keplers ekvation:

${\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}$

där ${\displaystyle e\,\!}$ är banans excentricitet och ${\displaystyle M\,\!}$ är planetens medelanomali. Denna ekvation saknar en sluten lösning för ${\displaystyle E\,\!}$ för givna ${\displaystyle M\,\!}$ och ${\displaystyle e\,\!}$. Ekvationen löses i praktiken med en numerisk iterativ metod, till exempel Newton-Raphsons metod. Om ${\displaystyle e\,\!}$ är litet kan istället en trunkerad serieutveckling användas:

${\displaystyle {\begin{matrix}E=M+e\cdot \sin M+{\frac {e^{2}}{2!\cdot 2}}(2\sin 2M)+{\frac {e^{3}}{3!\cdot 2^{2}}}(3^{2}\sin 3M-3\sin M)+{\frac {e^{4}}{4!\cdot 2^{3}}}(4^{3}\sin 4M-4\cdot 2^{3}sin2M)+....\end{matrix}}}$

Den excentriska anomalin för punkten P är vinkeln E. Ellipsens mittpunkt ligger i C och dess brännpunkt (fokus) i F. Den radiella positionsvektorn r utgår från brännpunkten F, inte från ellipsens centrum C. Storaxelns hjälpcirkel har radien a; lillaxelns hjälpcirkel har radien b. Den sanna anomalin betecknas i denna figur med ${\displaystyle f}$ men brukar ofta också betecknas med ${\displaystyle \nu }$

När den excentriska anomalin har beräknats kan man ur detta beräkna den sanna anomalin, ${\displaystyle \nu \,\!}$:

${\displaystyle \nu =2\cdot \tan ^{-1}\left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}\right)}$

och man kan också beräkna planetens avstånd ${\displaystyle r\,\!}$ från centralkroppen (solen):

${\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)}$

Excentrisk anomali kan även användas för en satellits rörelse runt jorden, eller för en godtycklig himlakropps rörelse runt en annan betydligt större centralkropp.

Se även

• Sann anomali
• Medelanomali