Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering innebär att skriva om ett andragradspolynom (polynom av grad 2) av formen

${\displaystyle x^{2}+px+q\qquad (1)}$

till formen

${\displaystyle \left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\qquad (2)}$.

Med hjälp av kvadreringsregeln ${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab}$ kan (2) utvecklas, vilket visar att (2) är ekvivalent med (1):

${\displaystyle \left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\ =}$

${\displaystyle x^{2}+2\cdot {\frac {px}{2}}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q=x^{2}+px+q}$.

Kvadratkomplettering används bland annat för att lösa andragradsekvationer.

Exempel

• För att hitta de två lösningarna till ekvationen

${\displaystyle x^{2}+32x-33=0}$

kan kvadratkomplettering användas:

${\displaystyle x^{2}+32x-33=\left(x+{\frac {32}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {32}{2}}\right)^{2}-33=\left(x+16\right)^{2}-289}$

Sätt ovanstående lika med noll och lös

${\displaystyle \left(x+16\right)^{2}-289=0\quad \Rightarrow }$

${\displaystyle \left(x+16\right)^{2}=289\quad \Rightarrow }$

${\displaystyle x+16=\pm 17\quad \Rightarrow }$

${\displaystyle x=-16\pm 17\quad \Rightarrow }$

${\displaystyle x=1~~\mathrm {eller} ~~x=-33}$

• Med kvadratkomplettering går det att lokalisera andragradspolynoms minsta värden:

${\displaystyle x^{2}+px+q=\underbrace {\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}} _{\geq 0}+\left(q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right)\geq q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}$

Olikheten visar att det minsta värdet

${\displaystyle q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}}$

antas då

${\displaystyle x=-{\frac {p}{2}}}$.

Se även

• polynom
• andragradsekvation