Linjärkombination

En linjärkombination är en summa bildad ur en mängd av termer och där varje term i summan multiplicerats med en konstant faktor. Linjärkombinationer är av central betydelse inom linjär algebra och närliggande matematiska områden.^[1]

Se även: linjärt oberoende

Linjärkombinationen ${\displaystyle {\vec {v}}=2{\vec {u}}_{1}+1.5{\vec {u}}_{2}}$

Om en vektor ${\displaystyle \mathbf {u} }$ i ett linjärt rum kan skrivas

${\displaystyle \mathbf {u} =c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\dots +c_{n}\mathbf {v} _{n}}$

där ${\displaystyle \ c_{1},\ c_{2},\ \dots ,\ c_{n}}$ är skalärer, är ${\displaystyle \mathbf {u} }$ en linjärkombination av mängden ${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ \mathbf {v} _{2},\ \dots ,\ \mathbf {v} _{n}\}}$.

Exempel

Vektorer

En vektor skriven som en linjärkombination av två andra vektorer:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}7\\2\end{bmatrix}}=1\cdot {\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}+2\cdot {\begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}}}$

En vektor kan delas upp i komponenter i form av en linjärkombination:

${\displaystyle \,(a_{1},\ a_{2},\ a_{3})=a_{1}(1,\ 0,\ 0)\,+\,a_{2}(0,\ 1,\ 0)+a_{3}(0,\ 0,\ 1)}$

Funktioner

Funktioner skrivna som linjärkombinationer av andra funktioner:

• ${\displaystyle \ \cos x={\frac {1}{2}}e^{ix}+{\frac {1}{2}}e^{-ix}}$
• ${\displaystyle \ e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

Polynom

Polynomet

${\displaystyle \ x^{2}-2x+3}$

kan med hjälp av

${\displaystyle \ v_{1}=(x^{2},\ 0,\ 0),\ v_{2}=(0,\ x,\ 0),\ v_{3}=(0,\ 0,\ 1)}$

skrivas som linjärkombinationen

${\displaystyle v_{1}-2v_{2}+3v_{3}}$