Multiplikation

Multiplikation (efter latinets multiplicatio, 'mångfaldigande'^[1]) är ett av de grundläggande räknesätten (operationerna) inom aritmetiken. De tal som multipliceras med varandra kallas faktorer och benämns (när det är två och endast två sådana) som multiplikator respektive multiplikand,^[1] medan resultatet kallas produkt.^[1] Multiplikation kan ses som ett mångfaldigande^[2] eller upprepad addition.^[3] Det multiplikationstecken som svenska Språkrådet rekommenderar till användning av i svensk litteratur är en halvhög punkt: '${\displaystyle \cdot }$'. I många fall används istället ett multiplikationskryss: '${\displaystyle \times }$'.

Fyra påsar med tre kulor i = tolv kulor totalt, vilket kan räknas med multiplikation: ${\displaystyle \displaystyle \underbrace {3+3+3+3} _{4\cdot 3=2\cdot 6}=12}$.

Illustration av multiplikationen ${\displaystyle 4\cdot 5}$: En cirkel delad i fyra kvartscirklar med fem äpplen var = tjugo äpplen.

Matematiska operationer v • r
Addition (+)
term + term addend + addend	=	summa
Subtraktion (−)
term − term minuend − subtrahend	=	differens
Multiplikation (× eller ·)
faktor × faktor multiplikator × multiplikand	=	produkt
Division (÷ eller /)
täljare / nämnare dividend / divisor	=	kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor	=	rest
Exponentiering (^)
basexponent	=	potens
n:te roten (√)
grad √radikand	=	rot
Logaritm (log)
logbas(potens)	=	exponent

Definition

Multiplikation kan generellt definieras som addition med ett och samma tal,^[3] eller om det är en negativ multiplikator som subtraktion med ett och samma tal. Multiplikatorn är i regel det "första talet", medan det tal som läggs samman (adderas, respektive subtraheras) kallas multiplikand. I exempelvis multiplikationen ${\displaystyle 4\cdot 5}$ (utläses "fyra gånger fem" alternativt "fem multiplicerat med fyra") är 5 multiplikand (det talet som adderas) och 4 multiplikator (som anger antalet gånger talet 5 adderas):

${\displaystyle \displaystyle 4\cdot 5=(0+)\underbrace {5+5+5+5} _{=10+10=}=\underbrace {20} _{2\cdot 10}}$

Är multiplikatorn ett negativt tal, i detta exempel –4, så innebär multiplikationen en subtraktion, i detta exempel subtraktion med 5 fyra gånger, som motsvarar addition fyra gånger med –5:

${\displaystyle \displaystyle \underbrace {(-4)\cdot 5=0-5-5-5-5} _{=4\cdot (-5)=0+(-5)+(-5)+(-5)+(-5)}=(-20)}$

Notera i exemplet ovan att produkten blir negativ när ett positivt tal och ett negativt tal multipliceras; om däremot två negativa (alternativt två positiva) multipliceras med varandra så blir produkten positiv. Är något av de tal som multipliceras 0 så blir även produkten 0 (som beror på att noll adderat/subtraherat med sig självt är lika med 0 och ${\displaystyle 0\cdot x=x-x}$). En produkt där noll faktorer ingår kallas en tom produkt och är lika med 1.

Multiplikation, som kan definieras för fler områden än tal som exempelvis för matriser, är kommutativ, associativ och distributiv när det rör sig om reella tal, då följande räknelagar gäller:

${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$, kommutativitet

${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c=a\cdot b\cdot c}$, associativitet

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$, distributivitet mot addition

Sett ur de kommutativa och associativa perspektiven kan exempelvis multiplikationen ${\displaystyle 6\cdot 5=2\cdot 3\cdot 5}$ skrivas med tre olika faktorer, som nämnts i exemplet, (eftersom faktorn 6 är produkten av ${\displaystyle 2\cdot 3}$) och med faktorerna i en omkastad ordning, i detta fall med faktorn 5 antingen först eller mitt emellan, vilket ger möjlighet att skriva om multiplikationen med 10 som en faktor (eftersom ${\displaystyle 2\cdot 5=5\cdot 2=10}$):

${\displaystyle 2\cdot 5\cdot 3=\underbrace {10\cdot 3} _{=3\cdot 10}=\underbrace {(0+)10+10+10} _{=20+10}=30}$

Vid multiplicering av en och samma faktor skrivs operationen i regel om till en passande potensform. Exempelvis 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 5³ (utläses "fem upphöjt till tre" alternativt "fem i kubik"), där fem är basen (det tal som multipliceras) och tre är exponenten (som anger antalet faktorer som multipliceras).

Alternativa definitioner

• Andel: Om talet är ett tal a: 0 < a < 1, kan multiplikationen a · b ses som a:s andel av b.
• Kombination: För ett reellt tal större än 1 som inte är ett heltal, kan man tänka sig att dela upp talet i hela och delar (decimaler), utföra multiplikationerna och lägga ihop resultaten.
• Skalning: Multiplikatorn är en skalfaktor. Multiplikationen a · b skalar b med en faktor a. b förstoras om a > 1 och förminskas om a < 1.
• Proportionalitet: Multiplikatorn är en proportionalitetskonstant. Om v är en jämn hastighet, så är sträckan s proportionell mot tiden t med proportionalitetskonstanten v: s = v · t. Detta synsätt är gångbart för många tillämpningar.
• Abstrakt operation: Algebraiskt är multiplikation en av operatorerna (addition är den andra) som definierar en kropp.

Multiplikationstabell

Som hjälpmedel vid beräkningar används multiplikationstabeller.

Tecken för multiplikation

Huvudartikel: Multiplikationstecken

Tecknet för multiplikation är en punkt placerad på samma höjd som plus- och minustecknet: ⋅ (Unicode-kod U+22C5, "Dot operator"). Ibland används liknande tecken, som ∙ (U+2219, "Bullet operator") eller · (U+00B7, "Middle dot").

I vissa sammanhang används ett kryss, × (U+00D7, "Multiplication sign"). Inom matematiken används kryss för kryssprodukter mellan vektorer. Det används också i mindre formella sammanhang, till exempel för att ange fysiska dimensioner på varor. När krysstecknet inte finns tillgängligt används ibland bokstaven "x".

Se även

• Multiplikationstabellen
• Produkt
• Inre produkt
• Skalärprodukt
• Kryssprodukt
• Multiplikationstecken
• Lista över matematiska symboler