Nilpotent matris

Inom matematiken är en nilpotent matris en kvadratisk matris ${\displaystyle M}$ sådan att ${\displaystyle M^{k}=0}$ för något positivt heltal k.

Exempel

Matrisen

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

är nilpotent eftersom ${\displaystyle A^{3}=0}$:

${\displaystyle A^{2}=A\times A={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle A^{3}=A\times A^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

Egenskaper

Låt ${\displaystyle M}$ vara en ${\displaystyle n\times n}$ nilpotent matris.

• För det minsta talet ${\displaystyle k}$ sådant att ${\displaystyle M^{k}=0}$ gäller att ${\displaystyle k\leq n}$.

• ${\displaystyle M}$:s alla egenvärden är noll, för om ${\displaystyle \lambda }$ är ett egenvärde till ${\displaystyle M}$:

${\displaystyle M\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} }$

så gäller att

${\displaystyle M^{2}\mathbf {x} =MM\mathbf {x} =M\lambda \mathbf {x} =\lambda M\mathbf {x} =\lambda ^{2}\mathbf {x} }$

och i det generella fallet (genom matematisk induktion) att

${\displaystyle M^{k}\mathbf {x} =\lambda ^{k}\mathbf {x} }$.

Men, då ${\displaystyle M^{k}=0}$ är vänsterledet noll, och alltså måste

${\displaystyle \lambda ^{k}=0\Rightarrow \lambda =0}$.

Detta innebär att ${\displaystyle M}$:s determinant och spår är noll, samt att ${\displaystyle M}$:s sekularpolynom är ${\displaystyle \lambda ^{n}}$