Ortonormerad bas

Inom linjär algebra kan en ortonormerad bas eller ortonormal bas (ON-bas) ses som ett koordinatsystem, så kallat ortonormerat koordinatsystem eller ON-system, där koordinataxlarna är ortogonala (sinsemellan vinkelräta) enhetsvektorer (det vill säga vektorer av längden 1). En ON-bas bestående av N vektorer spänner upp ett N-dimensionellt euklidiskt rum, vilket innebär att varje punkt eller vektor i rummet kan uttryckas som en linjärkombination av ON-basens vektorer.

Exempel

Euklidiska rum

I det euklidiska rummet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ kan varje vektor ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ skrivas som en summa av sina komposanter:

${\displaystyle x=x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}+x_{3}e_{3}.}$

I denna summa ger enhetsvektorerna ${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)}$, ${\displaystyle e_{2}=(0,1,0)}$ och ${\displaystyle e_{3}=(0,0,1)}$ upphov till ett rektangulärt koordinatsystem i ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$. I detta sammanhang är det mängden av enhetsvektorer ${\displaystyle \{e_{1},e_{2},e_{3}\}}$ som utgör en ortonormerad bas för det euklidiska rummet ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Funktionsrum

Mängden {f_n : n ∈ Z} med ${\displaystyle f_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$ ger en ortonormerad bas på det komplexa rummet L²([0,1])

Andra rum

Mängden {e_b : b ∈ B} med e_b(c) = 1 om b=c och 0 i övrigt ger en ortonormerad bas på rummet l²(B).