Schläfli-symbol

Schläfli-symbolen, uppkallad efter den schweiziske matematikern Ludwig Schläfli^[1], är en notation på formen ${\displaystyle \left\{p,q,r,\dots \right\}}$^[2] som används för att beskriva regelbundna polygoner, polyedrar, polytoper och tessellationer.

En dodekaeder har Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{5,3\right\}}$, det vill säga att tre regelbundna femhörningar möts i varje hörn.

Heptagrammen ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {7}{2}}\right\}}}$ (till vänster) i vilken sidorna går till det andra hörnet räknat från utgångspunkten och ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {7}{3}}\right\}}}$ (till höger) i vilken sidorna går till det tredje hörnet.

Liten stjärndodekaeder ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}},5\right\}}}$ (till vänster) i vilken fem pentagram möts pentagonalt i varje hörn och dess dual stor dodekaeder ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}}$ (till höger) i vilken fem pentagoner möts pentagrammatiskt i varje hörn.

Om ${\displaystyle p}$ är ett naturligt tal betecknar Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{p\right\}}$ en regelbunden polygon, en ${\displaystyle {p}}$-hörning.

Är ${\displaystyle p}$ ett oreducerbart^[3] heltalsbråk ${\displaystyle \textstyle {p={\frac {a}{b}}}}$ betecknar ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {a}{b}}\right\}}}$ en regelbunden stjärnpolygon med ${\displaystyle a}$ hörn, där ${\displaystyle b}$ anger till vilket hörn en sida ansluter. ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}}\right\}}}$ är alltså en femhörnig stjärnpolygon (ett pentagram), medan ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {5}{1}}\right\}}\textstyle {=\left\{5\right\}}}$, det vill säga en vanlig regelbunden femhörning.

Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{p,q\right\}}$ betecknar en kropp eller tessellation bestående av regelbundna ${\displaystyle {p}}$-hörningar (eller om det är ett bråk regelbundna stjärnpolygoner) där ${\displaystyle q}$ anger hur många sådana som möts i varje hörn (eller snarare vilken vertexfigur^[4] hörnet har).

En inversion av Schläfli-symbolen, det vill säga att elementen anges i omvänd ordning, ger den duala polytopen. Så anger exempelvis ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}$ en kub och ${\displaystyle \left\{3,4\right\}}$ en oktaeder, som är kubens duala polyeder. På samma sätt är ${\displaystyle \left\{6,3\right\}}$ tessellationen av planet med regelbundna sexhörningar och dess dual ${\displaystyle \left\{3,6\right\}}$ tessellationen av planet med liksidiga trianglar. Om Schläfli-symbolen för en figur är symmetrisk under inversion innebär det att figuren är självdual; som tessellationen av planet i kvadrater ${\displaystyle \left\{4,4\right\}}$ eller tetraedern ${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$.

I två dimensioner finns det de tre nyssnämnda tessellationerna av planet med liksidiga trianglar ${\displaystyle \left\{3,6\right\}}$, kvadrater ${\displaystyle \left\{4,4\right\}}$ och regelbundna sexhörningar ${\displaystyle \left\{6,3\right\}}$

De regelbundna tredimensionella polyedrarna utgörs av de fem konvexa platonska kropparna: tetraeder ${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$, kub ${\displaystyle \left\{4,3\right\}}$ och dess dual oktaeder ${\displaystyle \left\{3,4\right\}}$, samt dodekaeder ${\displaystyle \left\{5,3\right\}}$ och dess dual ikosaeder ${\displaystyle \left\{3,5\right\}}$.^[5] Därutöver finns det de fyra konvexa Kepler-Poinsot-kropparna: Liten stjärndodekaeder ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}},5\right\}}}$ med dualen stor dodekaeder ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{5,{\frac {5}{2}}\right\}}}$ och stor stjärndodekaeder ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{{\frac {5}{2}},3\right\}}}$ med dualen stor ikosaeder ${\displaystyle \scriptstyle {\left\{3,{\frac {5}{2}}\right\}}}$.^[6]

Fyrdimensionella regelbundna polytoper har Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{p,q,r\right\}}$ där ${\displaystyle p}$ och ${\displaystyle q}$, liksom i det tredimensionella fallet, betecknar att ${\displaystyle q}$ stycken ${\displaystyle p}$-hörningar möts i varje hörn, medan ${\displaystyle r}$ betecknar att ${\displaystyle r}$ stycken ${\displaystyle \left\{p,q\right\}}$-volymer möts längs varje kant. En fyrdimensionell simplex betecknas sålunda ${\displaystyle \left\{3,3,3\right\}}$ och en tesserakt ${\displaystyle \left\{4,3,3\right\}}$. En simplex är självdual, medan den duala polytopen till tesserakten, som har Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{3,3,4\right\}}$ och kallas 16-cell eller hexadekakor, består av tetraedrar, ${\displaystyle \left\{3,3\right\}}$, som fyra och fyra möts längs varje kant. Utöver dessa tre finns det tre ytterligare regelbundna konvexa polytoper av dimension fyra: den självduala 24-cellen och det duala paret 120-cellen och 600-cellen med Schläfli-symbolerna ${\displaystyle \left\{3,4,3\right\}}$, ${\displaystyle \left\{5,3,3\right\}}$ respektive ${\displaystyle \left\{3,3,5\right\}}$.^[7] Därutöver finns det tio regelbundna konkava stjärnpolytoper av dimension fyra.^[6]

För regelbundna polytoper av högre dimension (${\displaystyle n}$) tillkommer ett element i symbolen för varje ytterligare dimension. Detta element anger hur många objekt av dimension ${\displaystyle n-1}$ som möts vid varje objekt av dimension ${\displaystyle n-3}$. En ${\displaystyle n}$-dimensionell hyperkub har sålunda Schläfli-symbolen ${\displaystyle \left\{4,3,...,3\right\}}$ med ${\displaystyle n-2}$ treor. ${\displaystyle n}$-hyperkuben, dess dual (${\displaystyle n}$-hyperoktaedern, ${\displaystyle n}$-ortoplexen eller ${\displaystyle n}$-korspolytopen) ${\displaystyle \left\{3,3,...,3,4\right\}}$ och den självduala ${\displaystyle n}$-simplexen ${\displaystyle \left\{3,3,...,3\right\}}$ är de enda regelbundna polytoperna av dimension fem eller högre.^[7] De är samtliga konvexa.