Ultrafilter

Ej att förväxla med ultrafiltrering.

Inom matematiken, framförallt i mängdteori och modellteori är begreppet ultrafilter ett sätt att formalisera idén om en "stor" delmängd av en mängd M.

Definition

Given en mängd M är ett filter F på M en icke-tom mängd av delmängder till M som satisfierar följnade villkor:

1. Om ${\displaystyle U\in F}$ och ${\displaystyle U\subseteq V}$ är ${\displaystyle V\in F}$
2. Om ${\displaystyle U\in F}$ och ${\displaystyle V\in F}$ är ${\displaystyle U\cap V\in F}$

Ett filter F på M säges vara ett ultrafilter om det är maximalt, d.v.s. om följande villkor är uppfyllt:

1. För varje ${\displaystyle A\subseteq M}$ gäller ${\displaystyle A\in F}$ eller ${\displaystyle M\backslash A\in F}$

Ett ultrafilter F på M säges vara principiellt om det finns ett element ${\displaystyle m\in M}$ så att:

• ${\displaystyle F_{m}=\{A\subseteq M\mid m\in A\}}$.

Existens

Ett principiellt ultrafilter på en mängd M existerar trivialt för varje ${\displaystyle m\in M}$. Med hjälp av urvalsaxiomet kan man visa att det på varje oändlig mängd finns ett icke-principiellt ultrafilter.

Användning

Ultrafilter används för att konstruera ultraprodukter, som används i mängdteori och modellteori.