Weibullfördelning

Weibullfördelningen är en kontinuerlig sannolikhetsfördelning inom matematisk statistik.

Weibullfördelningen för olika formparametrar.

Täthetsfunktionen är:^[1] ${\displaystyle f(x)={\beta \over \alpha ^{\beta }}x^{\beta -1}e^{-(x/\alpha )^{\beta }}}$

Den kumulativa fördelningsfunktionen är

${\displaystyle F(x)=1-e^{-(x/\alpha )^{\beta }}}$

Fördelningen är definierad endast för ${\displaystyle x}$ ≥ 0.

Parametrar:

α är en skalningsparameter för x-variabeln

β är en "skevhetsparameter" eller "formparameter".

Ibland inför man en tredje parameter genom substitutionen y = x + γ. Den parametern (lägesparametern) frigör funktionen från begynnelsepunkten x = 0 och ger även en ökad flexibilitet vid anpassning av funktionen till experimentella data.

För formparametern kan följande specialfall för täthetsfördelningen nämnas:

β = 1: täthetsfördelningen är identisk med exponentialfördelningen.^[1]

β = 2 fördelningen är en Rayleighfördelning.^[1]

β < 3: fördelningen är skev åt vänster.^{[källa behövs]}

β ≈ 3 - 3,5: fördelningen är approximativt symmetrisk och påminner om normalfördelningen.^{[källa behövs]}

β > 3,5: fördelningen är skev åt höger.^{[källa behövs]}

Weibullfördelningen har stor ingenjörsteknisk användning för studium av livslängd och/eller hållfasthet hos tekniska system, där x är tiden/belastningen, och observerade haverier utgör statistiska observationer av en population tekniska enheter under drift, som exempelvis kullager, vilket var Waloddi Weibulls studieobjekt vid slutet av 1930-talet. Den används ofta för att beskriva keramiska materials variation i hållfasthet.

Om en weibullfördelning anpassas till observerade gångtider till driftstopp hos en komponent kan den funna formparametern indikera fysikaliska samband:

β = 1: driftstoppen är exponentialfördelade och inträffar slumpmässigt, vilket kan tolkas som att sannolikheten för stopp är oberoende av den ackumulerade gångtiden.

β < 1: sannolikheten för driftstopp är högst närmaste tiden efter driftsättningen; man talar om inkörningsfel eller "barnsjukdomar".

β ≈ 3: först efter en viss utslitningstid observeras en större serie (ungefär) normalfördelade driftstopp. Den kunskapen kan utnyttjas för att schemalägga förebyggande underhåll.