மெர்சென் பகா எண்கள்-செவ்விய எண்கள் பட்டியல்
விக்கிப்பீடியா:பட்டியலிடல் / From Wikipedia, the free encyclopedia
எண்கோட்பாட்டில், மெர்சென் பகாஎண்களும் செவ்விய எண்களும் ஒன்றுக்கொன்று ஆழமான தொடர்புடைய இருவிதமான இயல் எண்களாகும்.
- மெர்சென் பகாத்தனிகள் (மெர்சென் பகாஎண்கள்)
"மாரின் மெர்சென்" எனும் பிரெஞ்சு அறிவியலாளரின் பெயரால் அழைக்கப்படும் இவ்வெண்கள்,
- 2p − 1 , (ஒரு நேர்ம முழுவெண்) என்ற வடிவில் எழுதக்கூடிய பகாஎண்களாகும்.
எடுத்துக்காட்டாக,
இவ்வடிவிலமையும் எண்கள் மெர்சென் பகா எண்களாக இருப்பதற்கு p உம் ஒரு பகா எண்ணாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் p இன் அனைத்து பகா எண் மதிப்புகளுக்கும், 2p − 1 வடிவிலமையும் அனைத்து எண்களும், பகா எண்களாக இருப்பதில்லை; எனவே அவை மெர்சென் பகாஎண்களுமல்ல. எடுத்துக்காட்டாக,
- 23 − 1 = 7 . இது ஒரு பகா எண்; மேலும் மெர்சென் பகா எண்ணுங்கூட; ஆனால்,
- 211 − 1 = 2047 = 23 × 89 பகா எண் அல்ல.[3]
- "செவ்விய எண்கள்"
தமது தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகைக்குச் சமமாகவுள்ள இயல் எண்கள் செவ்விய எண்கள் அல்லது நிறைவெண்கள் எனப்படும்.
எடுத்துக்காட்டாக:
6 ஒரு செவ்விய எண்; அதன் தகு வகுஎண்கள் 6 are 1, 2, 3. இவற்றின் கூட்டுதொகை 1 + 2 + 3 = 6.[2][4]
மெர்சென் பகாஎண்களுக்கும் இரட்டைச் செவ்விய எண்களுக்குமிடையே ஓர் ஒன்றுக்கு-ஒன்று தொடர்பு உள்ளது. இத்தொடர்பின் ஒரு பகுதி யூக்ளிடாலும், பின்னர் அவரைத் தொடர்ந்து அதன் அடுத்தபகுதி ஆய்லராலும் நிறுவப்பட்டன. இத்தொடர்பு, யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது:
- தொடர்பு
- "ஓர் இரட்டையெண்ணானது 2p−1(2p − 1) (இதில், 2p − 1 ஒரு மெர்சென் பகாஎண்) என்ற வடிவில் "இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே", அந்த இரட்டையெண் ஒரு செவ்விய எண்ணாக இருக்கமுடியும்."
எடுத்துக்காட்டாக:
- p = 2, 22 − 1 = 3 இரண்டும் பகாஎண்கள்;
- மேலும், 22 − 1 × (22 − 1) = 2 × 3 = 6 என்ற செவ்விய எண்ணாக உள்ளதைக் காணலாம்.[1][5][6]
மெர்சென் பகாஎண்கள், இரட்டைச் செவ்விய எண்கள் ஆகிய இரண்டினது எண்ணிக்கைகளும் முடிவுற்றதா அல்லது முடிவற்றதா என்பது ஒரு விடையறிப்படாக் கேள்வியாகவே இதுவரை உள்ளது.[2][6]"இலென்சுட்ரா-பொமெரான்சு-வாக்சுடாஃப் அனுமானம்", மெர்சென் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கை பற்றியதாகும். இவ்வனுமானத்தின்படி, x ஐ விடச் சிறிய மெர்சென் பகாஎண்களின் எண்ணிக்கையானது (eγ / log 2) × log log x ஆகும். இதிலுள்ள e ஆனது ஆய்லரின் எண்; γ ஆனது "ஆய்லரின் மாறிலி"; log ஆனது இயல் மடக்கை.[7][8][9] மேலும் ஒற்றைச் செவ்விய எண்கள் உள்ளனவா என்பதும் விடை அறியப்படாதச் சிக்கலாகவே உள்ளது; ஒருவேளை ஏதாவது ஒற்றைச் செவ்விய எண் இருக்குமாயின் அவற்றுக்கான நிபந்தனைகள் பல கண்டறியப்பட்டுள்ளன. ஒற்றைச் செவ்விய எண் இருந்தால், அது குறைந்தபட்சம் 101500 ஆக இருக்கும் என்பதே அத்தகைய நிபந்தனைகளுள் ஒன்று.[10]
கீழுள்ள பட்டியல் தற்போதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட மெர்சென் பகாஎண்கள், செவ்விய எண்கள் இரண்டையும் அவற்றுக்குரிய அடுக்கெண் p உடன் தருகிறது. 2023 நிலவரப்படி, 51 மெர்சென் பகாஎண்கள் (எனவே 51 செவ்விய எண்கள்) கண்டுபிடிக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றுள் மிகப்பெரிய 17 மெர்சென் பாகாஎண்கள் "பகிர்வு கணித்தல் திட்டத்தின்" கீழமைந்த இணையவழி மெர்சென் பெருந்தேடல்-“கிம்ப்” (Great Internet Mersenne Prime Search-GIMPS) மூலம் கண்டறியப்பட்டன.[2] மேலும், புதிய மெர்சென் பகாஎண்கள், "இலூகாசு- இலேமர் மெய்த்தேர்வு" (LLT) மூலமாகவும் கண்டறியப்பட்டன.[2]
2022 வரை கண்டறியப்பட்ட நிலவரப்படி , அட்டவணையிலுள்ள தர எண்கள் தரப்பட்டுள்ளன. வேறு சிறிய மெர்சென் பகாஎண்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டால், அதற்கேற்றாற்போல தரஎண்கள் மாறவும் வாய்ப்புள்ளது. "மிகப்பெரிய இணைய மெர்சென் பகாஎண் தேடல்" திட்டத்தின்படி, 2024 வரையிலான, 48 ஆவது அடுக்கெண் p = 57,885,161 க்குக் கீழுள்ளவை அனைத்தும் சரிபார்க்கப்பட்டுவிட்டன.[11] யூக்ளிடு-ஆய்லர் தேற்றத்தின்படி, மெர்சென் பகாஎண்களுக்குரிய கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஆண்டும் கண்டுபிடித்தவர்களும், செவ்விய எண்களுக்கும் பொருந்தும். அட்டவணையின் இறுதியில் இடம்பெறும் எண்கள் மிகவும் அதிக நீளமானவை என்பதால், அவற்றின் முதல் ஆறு இலக்கங்களும் கடைசி ஆறு இலக்கங்களும் மட்டுமே காட்டப்பட்டுள்ளன.