ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம்

ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றம் அல்லது ஆய்லரின் நாற்கர விதி (Euler's quadrilateral theorem, Euler's law on quadrilaterals) ஒரு குவிவு நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமுள்ள தொடர்பை விளக்குகிறது. இத்தேற்றம், கணிதவியலாளர் ஆய்லரின் (1707–1783) பெயரால் அழைக்கப்படுகிறது.

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

இணைகர விதியின் பொதுமைப்படுத்தலாக இத்தேற்றம் அமைகிறது. இணைகர விதியை பித்தேகோரசு தேற்றத்தின் பொதுமைப்படுத்தலாகக் காணலாம். இக்காரணத்தால், நாற்கரங்களின் மூலம் வரையறுக்கப்படும் பித்தேகோரசு தேற்றமானது, ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் (Euler–Pythagoras theorem) என சிலசமயங்களில் அழைக்கப்படுகிறது.

வெட்டிக்கொள்ளும் நாற்கரங்கள், ஒருதளத்திலமையாத நாற்கரங்கள் என மேலதிக நாற்கரங்களின் கணங்களுக்கும் ஆய்லரின் தேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ இல், சுழற்சி கோட்டுருவாக உருவாகும் வகையில் விளிம்புகளால் இணைக்கப்பட்ட நான்கு புள்ளிகளுக்கும் (பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட நாற்கரங்கள் என அழைக்கப்படும்), இத்தேற்றம் உண்மையாகும்.^[1]

தேற்றமும் சிறப்பு வகைகளும்

ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பக்கங்கள் ${\displaystyle a,b,c,d}$; மூலைவிட்டங்கள் ${\displaystyle e,}$ ${\displaystyle f}$; மேலும் மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகளை இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டு ${\displaystyle g}$ எனில் கீழ்வரும் சமன்பாடு உண்மையாக இருக்கும்:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=e^{2}+f^{2}+4g^{2}}$

நாற்கரம் ஒரு இணைகரமாக இருந்தால், மூலைவிட்டங்களின் நடுப்புள்ளிகள் ஒரே புள்ளியாக இருக்கும். எனவே ${\displaystyle g}$ கோட்டுத்துண்டின் நீளம் 0. மேலும் இணைகரத்தின் இணை எதிர்பக்கங்களின் நீளங்கள் சமம். எனவே ஆய்லரின் தேற்றம் இணைகர விதியாக மாறும்:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=e^{2}+f^{2}}$ (இணைகர விதி)

which is the parallelogram law.

நாற்கரம் ஒரு செவ்வகமாக இருந்தால், இரு மூலைவிட்டங்களும் சமநீளமுள்ளவை. எனவே ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றத்தின் முடிவு மேலும் மாற்றமடையும்:

${\displaystyle 2a^{2}+2b^{2}=2e^{2}}$

இருபுறமும் இரண்டால் வகுக்க ஆய்லர்-பித்தேகோரசு தேற்றம் கிடைக்கப்பெறுகிறது:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=e^{2}}$

அதாவது நாற்கரமானது செவ்வகமாக இருக்கும்பொழுது, நாற்கரத்துக்கும் அதன் மூலைவிட்டங்களுக்குமான தொடர்பு ஆய்லர் பித்தேகோரசு தேற்றத்தால் விளக்கப்படுகிறது.^[2]

மாற்று அமைப்பும் நீட்டிப்புகளும்

இணைகரத்தின் ஆய்லரின் தேற்றம்

இத்தேற்றத்தை ஆய்லர் வேறொரு தேற்றத்தின் கிளைமுடிவாக நிறுவினார். அந்த மூலத் தேற்றத்தில் கூடுதலாக ஒரு புள்ளி எடுத்துக்கொள்ளப்பட்டது.

எடுத்துக்கொள்ளப்படும் குவிவு நாற்கரம் ${\displaystyle ABCD}$. ${\displaystyle ABED}$ ஒரு இணைகரமாக உள்ளவாறு ${\displaystyle E}$ புள்ளியை ஆய்லர் எடுத்துக்கொண்டார். இப்போது கீழுள்ள சமன்பாடு உண்மையாகும்:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+|CE|^{2}\qquad \qquad (1)}$

நாற்கரத்தின் முனையாக ஆனால் இணைகரத்துடன் தொடர்பில்லாத ${\displaystyle C}$ புள்ளிக்கும் ${\displaystyle E}$ புள்ளிக்கும் இடைப்பட்ட ${\displaystyle |CE|}$ தூரத்தை, நாற்கரமானது இணைகரத்திலிருந்து விலகியிருக்கும் அளவின் மதிப்பாகக் கருதலாம். மேலும் இணைகரவிதியின் சமன்பாட்டுடன் இணைக்கப்படவேண்டிய திருத்த உறுப்பாகவும் கொள்ளலாம்.^[3]

${\displaystyle AC}$ இன் நடுப்புள்ளி ${\displaystyle M}$ எனில்:

${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}=2\qquad \qquad (2)}$.

${\displaystyle AE}$, ${\displaystyle BD}$ இரண்டும் ${\displaystyle ABED}$ இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் என்பதால் ${\displaystyle BD}$ இன் நடுப்புள்ளி ${\displaystyle N}$ ஆனது ${\displaystyle AE}$ இன் நடுப்புள்ளியும் ஆகும். எனவே:

${\displaystyle {\tfrac {|AE|}{|AN|}}=2\qquad \qquad (3)}$

2, 3 இரண்டையும் சமப்படுத்தக் கிடைக்கும் முடிவு:

${\displaystyle {\tfrac {|AC|}{|AM|}}={\tfrac {|AE|}{|AN|}}}$.

எனவே இடைவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி:

${\displaystyle CE}$, ${\displaystyle NM}$ இரண்டும் இணை மற்றும் ${\displaystyle |CE|^{2}=(2|NM|)^{2}=4|NM|^{2}}$.

${\displaystyle |CE|^{2}=4|NM|^{2}}$ என 1 இல் சமன்பாட்டில் பதிலிட:

${\displaystyle |AB|^{2}+|BC|^{2}+|CD|^{2}+|AD|^{2}=|AC|^{2}+|BD|^{2}+4|NM|^{2}}$ (ஆய்லரின் நாற்கரத் தேற்றக் கூற்று^[3])