ஆரம், வடிவியல்

வடிவவியலில், ஆரம் (ஒலிப்பு^ⓘ) அல்லது ஆரை (radius) என்பது வட்டம் அல்லது கோளம் ஒன்றின் சுற்றளவில் உள்ள எந்த ஒரு புள்ளியிலிருந்தும் அதன் மையப் புள்ளிக்கு வரையப்படும் நேர்கோட்டுத் துண்டின் நீளத்தைக் குறிக்கும்.^[1] ஒரு வட்டத்தில் எண்ணற்ற ஆரங்களை வரையறுக்க இயலும். அவை ஒத்த அளவுடையதாக இருக்கும்.

வண்டிச் சக்கரத்தின் ஆரைக்கால்

ஆரம் என்னும் ஆரை

மாட்டு வண்டியில் இருக்கும் மரத்தால் செய்யப்பட்ட சக்கரத்தில் அதன் மையப்பகுதியாகிய குடத்திலிருந்து சக்கர விளிம்பிலுள்ள வட்டையை தாங்கி நிற்கும்படி நிறுத்தப்பட்டுள்ள கால்-மரத்தை ஆரை என்பர்.^[2][3]

ஆரை பொதுவாக r என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படும். இது விட்டத்தின் (d) அளவில் பாதியாக இருக்கும்.:^[4]

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

சுற்றளவில் இருந்து ஆரை

வட்டம் ஒன்றின் சுற்றளவு C எனின், அதன் ஆரை பின்வரும் சமன்பாட்டினால் தரப்படும்:

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}.}$

பரப்பளவில் இருந்து ஆரை

வட்டம் ஒன்றின் பரப்பளவு A எனின், அதன் ஆரை:

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}}$.

மூன்று புள்ளிகளில் இருந்து ஆரை

P₁, P₂, P₃ எனும் மூன்று புள்ளிகளூடாகச் செல்லும் வட்டம் ஒன்றின் ஆரை பின்வருமாறு தரப்படும்:

${\displaystyle r={\frac {|P_{1}-P_{3}|}{2\sin \theta }}}$

இங்கு θ என்பது கோணம் ${\displaystyle \angle P_{1}P_{2}P_{3}.}$ ஆகும்.

இச்சமன்பாடு சைன் விதியைப் பயன்படுத்துகிறது. மூன்று புள்ளிகளும் ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$, ${\displaystyle (x_{2},y_{2})}$, ${\displaystyle (x_{3},y_{3})}$ ஆகிய ஆள்கூறுகளால் தரப்படின், பின்வரும் சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம்:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{2}}}-{\it {x_{3}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{2}}}-{\it {y_{3}}}\right)^{2}\right)\left(\left({\it {x_{3}}}-{\it {x_{1}}}\right)^{2}+\left({\it {y_{3}}}-{\it {y_{1}}}\right)^{2}\right)}}{2\left|{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{2}}}+{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{3}}}+{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{1}}}\,{\it {y_{3}}}-{\it {x_{2}}}\,{\it {y_{1}}}-{\it {x_{3}}}\,{\it {y_{2}}}\right|}}}$

சீரான பல்கோணங்களுக்கான சமன்பாடுகள்

பின்வரும் சமன்பாடுகள் n பக்கங்களைக் கொண்ட சீரான பல்கோணங்களுக்கானது.

s பக்கத்தைக் கொண்ட பல்கோணம் ஒன்றின் ஆரை:

${\displaystyle r=R_{n}\,s}$    இங்கு   ${\displaystyle R_{n}={\frac {1}{2\sin {\frac {\pi }{n}}}}\quad \quad {\begin{array}{r|ccr|c}n&R_{n}&&n&R_{n}\\\hline 2&0.50000000&&10&1.6180340-\\3&0.5773503-&&11&1.7747328-\\4&0.7071068-&&12&1.9318517-\\5&0.8506508+&&13&2.0892907+\\6&1.00000000&&14&2.2469796+\\7&1.1523824+&&15&2.4048672-\\8&1.3065630-&&16&2.5629154+\\9&1.4619022+&&17&2.7210956-\end{array}}}$