குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)

கணிதத்தில், குறிப்பாக இயற்கணிதத்தில், குலம்(Group) என்ற கணித அமைப்பு ஒரு அடிப்படைக் கருத்தாகும். ஒரு முடிவுறு கணம் ${\displaystyle G}$, அதனில் சேர்ப்பு விதிக்குட்பட்ட ஓர் ஈருறுப்புச் செயலி, இவையிரண்டும் கொடுக்கப்பட்டு, அச்செயலிக்கு ஒரு முற்றொருமையும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு நேர்மாறும் இருந்துவிட்டால் அவ்வமைப்பு முடிவுறு குலம் எனப்படும். அப்பொழுது, ${\displaystyle G}$-இன் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை அக் குலத்தின் கிரமம் (Order of the Group) எனப்படும்.

ஒரு குலத்தின் அடித்தளக்கணம் முடிவுறாக் கணமானால், அக்குலம் முடிவுறாக் குலம் எனப்படும்.

ஓர் உறுப்பின் கிரமம்

ஒரு குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு கிரமம் வரையறுக்கப்படலாம். ஓர் உறுப்பு ${\displaystyle a}$-இன் கிரமம் என்பது, ${\displaystyle a^{n}=e}$ என்ற சமன்பாட்டுக் குகந்தபடி உள்ள மீச்சிறு ${\displaystyle n}$ என்ற எண்ணிக்கை.

எ.கா. ${\displaystyle S_{3}}$ என்ற சமச்சீர் குலத்தைப் பார். இதன் கிரமம் 6. இதன் ஆறு உறுப்புகள்:

${\displaystyle (ab)(c),(bc)(a),(ca)(b),(abc),(acb),e.}$

இதனில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் 2-வது அடுக்கு ${\displaystyle e}$ ஆகிறது. அதனால் அவைகளின் கிரமம் 2.

அடுத்த இரண்டு உறுப்புகளின் 3-வது அடுக்கு ${\displaystyle e}$ ஆகிறது. அதனால் அவைகளின் கிரமம் 3.

${\displaystyle e}$-இன் கிரமம் 1.

சுழற்குலத்தின் கிரமம்

${\displaystyle G}$ ஒரு சுழற்குலமானால் அது, ${\displaystyle \{a,a^{2},a^{3},....\}}$ என்ற உருவத்தில் இருக்கும். இங்கு ${\displaystyle a}$ என்பது அச்சுழற்குலத்தின் பிறப்பி. எந்த எண் ${\displaystyle n}$ க்காவது ${\displaystyle a^{n}=e}$ யாக இருக்குமானால், ${\displaystyle n}$-இன் மீச்சிறு மதிப்பு, ${\displaystyle a}$-இனுடைய கிரமம். அதுவே சுழற்குலத்தின் கிரமமுமாகும்.

ஆக, ஒரு முடிவுறு சுழற்குலத்தின் கிரமமும் அதன் பிறப்பியின் கிரமமும் ஒன்றே.

எந்த எண் ${\displaystyle n}$ க்கும் ${\displaystyle a^{n}=e}$ உண்மையல்லவென்றால், அக்குலம் ஒரு முடிவுறா சுழற்குலமாகும்.