நேர்மாறு உறவு

கணிதத்தில் ஒரு உறவின் நேர்மாறு உறவு (inverse relation) அல்லது மறுதலை உறவு (Converse relation) என்பது மூல உறவின் வரிசைச் சோடிகளிலுள்ள உறுப்புகளின் வரிசையை மாற்றக் கிடைக்கும் உறவாகும்.

எடுத்துக்காட்டு:

மெய்யெண் கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட > உறவின் நேர்மாறு < ஆகும்.

X = {1, 2, 3, 4, 5}. இக்கணத்தில் வரையறுக்கப்படும் உறவு R என்பது விடப் பெரியது எனில் அதன் நேர்மாறு உறவு R ⁻¹, விடச் சிறியது ஆகும்.

${\displaystyle R=\{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),\}}$

${\displaystyle R^{-1}=\{(2,1,),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4),\}}$

நேர்மாறு உறவானது மறுதலை உறவு அல்லது இடமாற்று உறவு எனவும், மூல உறவின் எதிர் அல்லது இருமம் எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.^[1][2] நேர்மாறு உறவின் பிற குறியீடுகள்: R^C, R^T, R^~ or ${\displaystyle {\breve {R}}}$ or R° or R^∨

ஒரு உறவு எதிர்வு, எதிர்வற்றது, சமச்சீர், எதிர்சமச்சீர், சமச்சீரற்ற, கடப்பு, முழுமை, முப்பிரிவு, சமான உறவாக இருந்தால், அவ்வுறவின் நேர்மாறு உறவும் மேலுள்ள வகைகளாக அமையும்.

வரையறை

${\displaystyle X{\text{ and }}Y}$ இரு கணங்கள்; X இருந்து Y க்கு வரையறுக்கப்படும் உறவு ${\displaystyle R\subseteq X\times Y}$ எனில், நேர்மாறு உறவு ${\displaystyle R^{-1}}$ இன் வரையறை:

${\displaystyle x\,L\,y}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ${\displaystyle y\,L^{-1}\,x}$ ஆக இருக்கும்.

கணக்குறியீட்டில்:

${\displaystyle L^{-1}=\{(y,x)\in Y\times X\mid (x,y)\in L\}}$.

நேர்மாறுச் சார்புகளின் குறியீட்டைப் போன்றதாகவே நேர்மாறு உறவின் குறியீடும் அமைந்துள்ளது. நேர்மாறு இல்லாத சார்புகள் உள்ளன; ஆனால் ஒவ்வொரு உறவுக்கும் ஒரு தனித்த நேர்மாறு உண்டு.

சார்பின் நேர்மாறு உறவு

ஒரு சார்பின் நேர்மாறு உறவும் ஒரு சார்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு நேர்மாற்றக் கூடியதாக இருக்கும். அதாவது, அச்சார்புக்கு நேர்மாறுச் சார்பு இருக்கும்.

${\displaystyle f:X\to Y}$ சார்பின் நேர்மாறு உறவு ${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$ இன் வரையறை:

${\displaystyle \operatorname {graph} \,f^{-1}=\{(y,x)\mid y=f(x)\}}$.

இந்த நேர்மாறு உறவு, அவசியம் ஒரு சார்பாக இருக்க வேண்டுமென்பதில்லை.

மாறாக நேர்மாறு உறவு ஒருசார்பாக வேண்டுமானால்:

தேவையான கட்டுப்பாடு:

f ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருக்க வேண்டும். இல்லாவிடில், ${\displaystyle f^{-1}}$ பன்மதிப்புச் சார்பாக அமைந்து, சார்புக்குரிய வரையறையை நிறைவு செய்யாது.

போதுமான கட்டுப்பாடு:

${\displaystyle f^{-1}}$ ஒரு பகுதிச் சார்பாக இருப்பதற்கு மேலுள்ள கட்டுப்பாடு போதுமானது. ஆனால், f ஒரு முழுக்கோப்பாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, ${\displaystyle f^{-1}}$ முழுச் சார்பாக முடியும்.

தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு:

${\displaystyle f^{-1}}$ ஒருசார்பாக வேண்டுமானால் f ஒரு உள்ளிடுகோப்பாகவும், முழுக்கோப்பாகவும் இருக்க வேண்டும் என்பதே தேவையானதும் போதுமானதுமான கட்டுப்பாடு.

எனவே f ஒரு இருவழிக்கோப்பு எனில், அதன் நேர்மாறு உறவும் ஒரு சார்பாக, அதாவது, f இன் நேர்மாறுச் சார்பாக இருக்கும்.