பரிமாறாக்குலம்

கணிதத்தில் குலம் என்ற அமைப்பு இயற்கணித அமைப்புகளில் ஓர் அடிப்படை அமைப்பு. ஒட்டுறவுள்ள ஒரு செயல்பாடு அமைக்கப்பெற்ற ஒரு கணத்தில் அதற்கு ஓர் ஒற்றொருமையும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு நேர்மாறும் இருந்துவிட்டால அவ்வமைப்பு குலம் எனப் பெயர் பெறும். குலங்களில் இருவகையுண்டு. பரிமாற்று விதி முழுமையாக ஒவ்வாத குலங்கள் பரிமாறலற்ற குலங்கள் அல்லது பரிமாறாக் குலங்கள் என்று கூறப்படும்.இருபதாவது நூற்றாண்டில் குவாண்டம் இயக்கவியல் தோன்றிய காலத்திலிருந்து பரிமாறாக் குலங்களின் முக்கியத்துவம் அதிகமாகி, இன்று கணிதத்திலும் இயற்பியலிலும் அது ஒரு முக்கிய பிரிவாக ஆய்வு செய்யப்படுகிறது. அணிகளடங்கிய பல குலங்களும், ஐந்து பிளேடோனிக் திண்மங்கள் சார்ந்த குலங்களும் , சமச்சீர் குலங்களான ${\displaystyle S_{n}(n\geq 3)}$ ம் பரிமாறாக் குலங்களே.

பரிமாற்று விதிக்கொத்த குலங்கள் பரிமாற்றுக் குலங்கள் என்று பெயர் பெறுகின்றன. இவைகளுக்கு ஏபெல் குலங்கள் என்ற மாற்றுப் பெயரும் உண்டு. ஏபெல் என்பவர் நார்வேயில் 19-வது நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் கணிதத்தில் உலகமனைத்தும் போற்றிய பல முன்னோட்டங்களைச் செய்தவர்.

ஓர் எடுத்துக்காட்டு

${\displaystyle S_{3}}$ இன் பெருக்கல் அட்டவணை (கீழே உள்ளது) அது ஒரு பரிமாற்றாக்குலம் என்பதைக்காட்டும். இதுதான் மிகச்சிறிய பரிமாற்றாக்குலம்.அட்டவணை xy ஐ க்காட்டுகிறது.

${\displaystyle S_{3}=\{a=(1)(23);b=(2)(13);c=(3)(12);d=(123);(e)=(132)\}}$

${\displaystyle {\frac {y\rightarrow }{x\downarrow }}}$	I	a	b	c	d	e
I	I	a	b	c	d	e
a	a	I	d	e	b	c
b	b	e	I	d	c	a
c	c	d	e	I	a	b
e	e	b	c	a	I	d
d	d	c	a	b	e	I

இவற்றையும் பார்க்கவும்

• செங்குத்துக் குலம்
• அலகு அணிக்குலம்.
• நான்முகிக் குலம்.
• வரிசைமாற்றுக் குலம்