முற்றொருமை (கணிதம்)

கணிதத்தில் முற்றொருமை (identity) என்பது வெவ்வேறான பல கருத்துக்களைக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது இயற்கணிதத்தில் சமன்பாடுகளின் சிறப்புவகைகளையும் கணங்களில் முற்றொருமை உறுப்புகளையும் சார்புகளில் முற்றொருமைச் சார்புகளையும் குறிக்கிறது.

முற்றொருமைகள்

ஒரு முற்றொருமை என்பது எப்பொழுதும் உண்மையாகக் கூடிய ஒரு உறவு.

இயற்கணிதத்திலுள்ள ஒரு சமன்பாடு, அதில் அமைந்துள்ள மாறிகளுக்கு தரப்படும் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாக இருக்குமானால் அச்சமன்பாடு ஒரு முற்றொருமை எனப்படும். ஒரு சமன்பாடு, முற்றொருமையாக இருக்கும்போது அச்சமன்பாட்டிலுள்ள சமன் குறிக்குப் பதிலாக மூன்று கிடைக்கோடுகள் குறியீடு ≡, பயன்படுத்தப்படுவது மரபு.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

${\displaystyle (a+b)^{2}\equiv a^{2}+2ab+b^{2}}$

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta \equiv 1\!}$ (பித்தாகரசின் முற்றொருமை)

சைன் மற்றும் கோசைன் இரண்டின் ஆட்களமும் கலப்பெண் கணம் ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -ஆக அமைவதால் இது ${\displaystyle \theta }$ -ன் அனைத்து சிக்கலெண் மதிப்புகளுக்கும் உண்மையாகும்.)

${\displaystyle \cos \theta =1,\,}$ இது ஒரு முற்றொருமை அல்ல. ஏனெனில்

${\displaystyle \theta }$ -ன் அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் இது உண்மையாக இராது. ${\displaystyle \theta =0,\,}$ எனில் உண்மையாகவும் ${\displaystyle \theta =2\,}$ எனில் உண்மையாக இல்லாமலும் இருக்கிறது.

≡ என்ற குறியீடுட்டுக்குச் சமானமானது போன்ற பிற பயன்பாடுகளும் உண்டு

முற்றொருமை உறுப்பு

முதன்மைக் கட்டுரை: முற்றொருமை உறுப்பு

ஒரு கணம் S -ன் முற்றொருமை அல்லது முற்றொருமை உறுப்பு e என்பது S -லுள்ள எந்தவொரு உறுப்பு a -உடன் சேர்ந்து ஈருறுப்புச் செயலிக்குப் உட்படுத்தப்படும்போது கிடைக்கும் விடை a -ஆகவே இருக்குமாறுள்ள ஒரு உறுப்பாகும்.

${\displaystyle e*a=a=a*e\,}$.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• மெய்யெண்கள் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 0.

${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle 0+a=a,\,}$

${\displaystyle a+0=a,\,}$ :${\displaystyle 0+0=0.\,}$

• மெய்யெண்கள் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு எண் 1.

${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle 1\times a=a,\,}$

${\displaystyle a\times 1=a,\,}$ and

${\displaystyle 1\times 1=1.\,}$

• அணிகளின் கணத்தில் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு முற்றொருமை அணி ${\displaystyle \mathbf {I} .}$
• அணிகளின் கணத்தில் கூட்டல் செயலைப் பொறுத்த முற்றொருமை உறுப்பு பூச்சிய அணி ${\displaystyle \mathbf {0} .}$

முற்றொருமைச் சார்பு

முதன்மைக் கட்டுரை: முற்றொருமைச் சார்பு

S கணத்திலிருந்து S -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட முற்றொருமைச் சார்பு பொதுவாக ${\displaystyle \mathrm {id} }$ அல்லது ${\displaystyle \mathrm {id} _{S}}$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. இச்சார்பின் கீழ், S -ன் அனைத்து உறுப்புகளின் பின்னுருக்கள் அந்தந்த உறுப்புகளாகவே அமையும்.

S -ன் அனைத்து உறுப்புகள் x -க்கும்:

${\displaystyle \mathrm {id} (x)=x}$

${\displaystyle f\colon S\rightarrow S}$ என வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து சார்புகளின் கணத்திற்குச் சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து முற்றொருமை உறுப்பாக முற்றொருமைச் சார்பு அமையும்.

முற்றொருமைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு முற்றொருமை வரிசை மாற்றமாகும். முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது, கணம் ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ அல்லது ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$ உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் அதே உறுப்பாக இயல்பான வரிசைப்படி மாற்றும்.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\1&2&3&\cdots &n\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &n\\a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &n\end{pmatrix}}.}$

ஒப்பிடல்

முற்றொருமை என்பதன் வெவ்வேறு பயன்பாடுகள் ஒன்றுக்கொன்று தொடர்புள்ளவையாக உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ கணத்தின் வரிசைமாற்றங்களின் குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பாக சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியைப் பொறுத்து அமைகிறது.

வெளி இணைப்புகள்

• A Collection of Algebraic Identities