வட்டு (கணிதம்)

வடிவவியலில் வட்டு (disk அல்லது disc^[1]) என்பது, தளத்தில் வட்டமொன்றால் அடைபடும் பகுதியைக் குறிக்கும். எல்லையாகவுள்ள வட்டத்தையும் சேர்த்துக்கொண்டால், அவ்வட்டானது "மூடிய வட்டு" எனவும், சேர்த்துக்கொள்ளாவிட்டால் "திறந்த வட்டு" எனவும் அழைக்கப்படும்.^[2]

வட்டின்

சுற்றளவு: C

விட்டம்: D

ஆரம்: R

மையம்: O

வழக்கமாக, ${\displaystyle r}$ ஆரமுள்ள திறந்த வட்டு ${\displaystyle D_{r}}$ எனவும், மூடிய வட்டு ${\displaystyle {\overline {D_{r}}}}$ எனவும் குறியிடப்படுகின்றன. எனினும் இடவியலில் ${\displaystyle D^{2}}$ திறந்த வட்டு ${\displaystyle \operatorname {Int} D^{2}}$ என்றும், மூடிய வட்டு ${\displaystyle D^{2}}$ எனவும் குறிக்கப்படுகின்றன.

வாய்பாடுகள்

காட்டீசியன் ஆள்கூற்று முறைமையில்,

${\displaystyle (a,b)}$ மையமும் R ஆரமுங்கொண்ட திறந்த வட்டின் சமன்பாடு:^[1]

${\displaystyle D=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}<R^{2}\}}$

${\displaystyle (a,b)}$ மையமும் R ஆரமுங்கொண்ட மூடிய வட்டின் சமன்பாடு:

${\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in {\mathbb {R} ^{2}}:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}\leq R^{2}\}.}$

R ஆரமுள்ள மூடிய வட்டின் பரப்பளவு: πR^{2 [3]}

பண்புகள்

• வட்டானது வட்டச் சமச்சீர் உடையது.^[4]

• திறந்த வட்டும் மூடிய வட்டும் இடவியலாக சமானமானவை அல்ல. அதாவது உருவொத்தவையல்ல. அவற்றின் இடவியல் பண்புகள் மாறுபட்டவை.^[5] இருப்பினும் இரண்டும் பொதுவான சில பண்புகளையும் கொண்டுள்ளன.^[6]

• ஒரு புள்ளியின் (எனவே, திறந்த மற்றும் மூடிய வட்டின்) ஆய்லர் பான்மை எண் '1' ஆகும்.^[7]

• ஒரு மூடிய வட்டிலிருந்து அம்மூடிய வட்டிற்கே வரையறுக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு தொடர்ச்சியான சார்புக்கும் குறைந்தபட்சமாக ஒரு நிலைத்த புள்ளி உண்டு. இச்சார்பு இருவழிக்கோப்பாகவோ அல்லது முழுக்கோப்பாகவோ இருக்கவேண்டுமென்பதில்லை); இக்கூற்று புரூவர் நிலைத்த புள்ளி தேற்றத்தின் n=2 வகையாகும்.^[8] மேலும் இக்கூற்றானது திறந்த வட்டுக்குப் பொருந்தாது:^[9]

எடுத்துக்காட்டாக:

${\displaystyle f(x,y)=\left({\frac {x+{\sqrt {1-y^{2}}}}{2}},y\right)}$ என்ற சார்பு, திறந்த அலகு வட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் அதே திறந்த அலகு வட்டின் ஒரு புள்ளியோடு இணைக்கிறது. ஆனால் மூடிய அலகு வட்டில், அதன் வரம்பு அரைவட்டத்தின் (${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1,x>0.}$) மீதமையும் ஒவ்வொரு புள்ளியையும் நிலைத்த புள்ளியாகக் கொண்டுள்ளது.