ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง (อังกฤษ: Intermediate value theorem) เป็นทฤษฎีบทในสาขาการวิเคราะห์เชิงจริง ซึ่งกล่าวว่า ถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ แล้ว ${\displaystyle f}$ จะมีค่าได้ทุกค่าระหว่าง ${\displaystyle f(a)}$ และ ${\displaystyle f(b)}$

ภาพประกอบสำหรับทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง: ถ้า ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องนิยามบนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ แล้วฟังก์ชันนี้จะส่งไปยังค่าทุกค่าที่อยู่ระหว่าง ${\displaystyle f(a)}$ และ ${\displaystyle f(b)}$

ทฤษฎีบทนี้ให้ภาพความเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องอย่างชัดเจน ฟังก์ชันต่อเนื่องในมุมมองทั่ว ๆ ไป คือฟังก์ชันที่กราฟไม่ขาดตอน ดังนั้นหากฟังก์ชันต่อเนื่องลากเชื่อมสองจุดใด ๆ แล้วเส้นกราฟต้องตัดเส้นแนวนอนที่ขวางระหว่างกลางสองจุดนั้นเสมอ

เนื้อหาของทฤษฎีบท

ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง — ให้ ${\displaystyle f}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่หาค่าได้บนช่วงปิด ${\displaystyle [a,b]}$ และ ${\displaystyle u}$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่อยู่ระหว่าง ${\displaystyle f(a)}$ และ ${\displaystyle f(b)}$ แล้วจะมี ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle f(x)=u}$

ความเชื่อมโยงกับความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

ทฤษฎีบทนี้สมมูลกับความบริบูรณ์ของระบบจำนวนจริง และไม่เป็นจริงในฟีลด์ที่ไม่มีสมบัติความบริบูรณ์^[1] ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ${\displaystyle f(x)=x^{2}-2}$ ที่นิยามบน ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ สอดคล้องกับสมการ ${\displaystyle f(0)=-2}$ และ ${\displaystyle f(2)=2}$ แต่ไม่มีจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle x}$ ใดที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle f(x)=0}$ ทั้งนี้เพราะว่า ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

พิสูจน์

บทพิสูจน์นี้อาศัยความบริบูรณ์ของจำนวนจริง

พิสูจน์ —

เราจะพิสูจน์ในกรณีที่ ${\displaystyle f(a)<u<f(b)}$ สำหรับกรณีอื่น ๆ ทำได้เช่นกัน

ให้ ${\displaystyle S}$ เป็นเซตของจำนวน ${\displaystyle x\in [a,b]}$ ทั้งหมดที่ซึ่ง ${\displaystyle f(x)\leq u}$ แล้ว ${\displaystyle S}$ จะไม่เป็นเซตว่างเพราะมี ${\displaystyle a}$ เป็นสมาชิก นอกจากนี้ ${\displaystyle S}$ มีขอบเขตบนคือ ${\displaystyle b}$

จากสมบัติความบริบูรณ์ของจำนวนจริง จะได้ว่า ${\displaystyle S}$ มีขอบเขตบนน้อยสุด จึงให้แทนด้วย ${\displaystyle \sup S=c}$

จะพิสูจน์ว่า ${\displaystyle f(c)=u}$ แล้วจะได้ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

ให้ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ เนื่องจาก ${\displaystyle f}$ ต่อเนื่อง ดังนั้นจะมี ${\displaystyle \delta >0}$ ที่ทำให้ ${\displaystyle |f(x)-f(c)|<\varepsilon }$ ทุกค่า ${\displaystyle |x-c|<\delta }$ ดังนั้นจะได้ว่า

${\displaystyle f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon }$ สำหรับทุก ${\displaystyle x\in (c-\delta ,c+\delta )}$

โดยอาศัยสมบัติของขอบเขตบนน้อยสุด จะมี ${\displaystyle a^{*}\in (c-\delta ,c]}$ ที่อยู่ใน ${\displaystyle S}$ และทำให้

${\displaystyle f(c)<f(a^{*})+\varepsilon \leq u+\varepsilon }$.

เช่นกัน จะมี ${\displaystyle a^{**}\in (c,c+\delta )}$ ที่สอดคล้องกับ ${\displaystyle a^{**}\not \in S}$ เพราะ ${\displaystyle c}$ เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของ ${\displaystyle S}$

จึงได้

${\displaystyle f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \ >u-\varepsilon }$.

จากทั้งสองอสมการเราพบว่า

${\displaystyle u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon }$

เป็นจริงสำหรับทุก ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ซึ่งทำให้ได้ว่า ${\displaystyle f(c)=u}$ ตามต้องการ

มีบทพิสูจน์แบบอื่นที่อาศัยวิธีการผ่าครึ่ง (Bisection method)^[1] ซึ่งนำไปสู่ขั้นตอนวิธีการหารากโดยใช้วิธีการผ่าครึ่ง

หมายเหตุ: ทฤษฎีบทค่าระหว่างกลางสามารถพิสูจน์ได้ในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน ซึ่งใช้แนวความคิดเกี่ยวกับกณิกนันต์อย่างรัดกุม^[2]

บทแทรก

ทฤษฎีบทต่อนี้เป็นผลโดยทันทีจากทฤษฎีบทค่าระหว่างกลาง

• ทฤษฎีบทของบ็อลท์ซาโน (Bolzano's theorem): ถ้าฟังก์ชันต่อเนื่องเปลี่ยนเครื่องหมายบนช่วงใด แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีรากในช่วงนั้น
• ภาพของฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงใด จะเป็นช่วงด้วย