ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น (probability mass function, PMF) ในทฤษฎีความน่าจะเป็น และ สถิติศาสตร์ เป็นฟังก์ชันที่อธิบายความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่มในการแจกแจงความน่าจะเป็นไม่ต่อเนื่อง^[1] (บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็น)

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องแสดง้วยจุดและแท่ง ณ จุดที่ปรากฏมวลความน่าจะเป็น

โดเมนของฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นอาจเป็นองค์ประกอบสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง เช่น ตัวแปรสเกลาร์ หรือตัวแปรสุ่มหลายตัวแปร

กรณีของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องนั้นไม่เหมือนกับกรณีของตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ จะแสดงเป็นผลรวมของมวลความน่าจะเป็นที่นับได้^[2]

นิยาม

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของลูกเต๋า ที่ไม่เอนเอียง การแจกแจงความน่าจะเป็นจะสม่ำเสมอตลอด เป็นการแจกแจงเอกรูปไม่ต่อเนื่อง

ให้ X : S → A (A ⊆ R) เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่นิยามบนปริภูมิตัวอย่าง S ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของ X คือ fX : A → [0, 1] จะถูกนิยามดังต่อไปนี้^[3][4]。

${\displaystyle f_{X}(x)=\operatorname {P} (X=x)=\operatorname {P} (\{s\in S\mid X(s)=x\})}$

ค่าตัวแปรสุ่ม a จะคูณด้วยมวล (มวลความน่าจะเป็น) P(X = a) และมวลความน่าจะเป็นก็อาจมองได้ว่าเป็น

${\displaystyle \sum _{x\in A}f_{X}(x)=1}$

ด้วยการให้เซตอันดับกับตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ทำให้สามารถแสดงการแจกแจงความน่าจะเป็นไม่ต่อเนื่องเป็นกราฟของฟังก์ชันได้ องค์ประกอบสุ่ม เช่น เวกเตอร์ตัวแปรสุ่ม ก็เช่นกัน

ความไม่ต่อเนื่องในฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นทำให้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องนั้นก็ไม่ต่อเนื่องเช่นกัน ในช่วงหาอนุพันธ์ได้ ค่าอนุพันธ์จะเป็น 0 และในช่วงนั้น ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นจะเป็น 0 ด้วย